专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 依题意知，y=sinx+2cosx=﹣cosx+2cosx+1，设t=cosx，有y=﹣t+2t+1=﹣（t﹣1）+2，令﹣（t﹣1）+2=﹣，解得t=﹣或t=，而cosx≤1，可求得x=
2
2
2
2
2
+2kπ或﹣+2kπ（k∈Z），在坐标系中画
出函数y=cosx的图象后，数形结合即可求得θ的取值范围．
22
解答： 解：由题意知，y=sinx+2cosx=﹣cosx+2cosx+1，设t=cosx，
则函数y=﹣t+2t+1=﹣（t﹣1）+2，令﹣（t﹣1）+2=﹣，解得t=﹣或t=， ∵cosx≤1，
∴t=﹣，即cosx=﹣，x=
+2kπ或﹣
+2kπ（k∈Z），
2
2
2
在坐标系中画出函数y=cosx的图象：
由图和x∈知，θ∈故答案为：
．
时，函数的最小值为﹣，
点评： 本题考查三角函数的最值，着重考查二次函数的单调性质及余弦函数的图象与性质，考查分析、
解答问题的能力，属于中档题．
17．（4分）若任意的实数a≤﹣1，恒有a?2﹣b﹣3a≥0成立，则实数b的取值范围为（﹣∞，1]．
考点： 函数恒成立问题．
专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
bbx
分析： 设f（a）=a（2﹣3）﹣b，由题意可得，2﹣3＜0，且f（﹣1）≥0恒成立，再由g（x）=x+2在R上递增，且g（1）=3，解不等式求交集即可．
b
解答： 解：设f（a）=a（2﹣3）﹣b，
b
由于任意的实数a≤﹣1，恒有a?2﹣b﹣3a≥0成立，
b
则2﹣3＜0，且f（﹣1）≥0恒成立，
b
则有b＜log23，且3﹣b﹣2≥0，
bx
由b+2≤3，又g（x）=x+2在R上递增，且g（1）=3， 则g（b）≤g（1），解得b≤1．
又b＜log23，则有b≤1． 故答案为：（﹣∞，1]．
点评： 本题考查函数恒成立问题，考查构造函数运用单调性解题，考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题．
b
三、解答题：共4大题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程． 18．（12分）已知集合A={x|x﹣8x+15=0}，B={x|x﹣ax﹣b=0}， （1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值； （2）若??B?A，求实数a，b的值．
考点： 集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算． 专题： 集合．
分析： （1）先求出A={3，5}，根据交集、并集的定义即可得出a，b； （2）根据??B?A即可得到B={3}，或{5}，根据韦达定理便可求出a，b． 解答： 解：（1）A={3，5}；
若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，则： B={2，3}；
22
∴；
∴a=5，b=﹣6；
（2）若??B?A，则： B={3}，或B={5}； ∴∴
，或，或
．
；
点评： 并集与交集的定义，描述法与列举法表示集合，以及空集、真子集的概念．
19．（12分）（1）已知tanθ=2，求（2）已知﹣
＜x＜
，sinx+cosx=，求tanx的值．
的值；
考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．
分析： （1）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，把tanθ的值代入计算即可求出值；
（2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简求出2sinxcosx的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinx﹣cosx的值，与已知等式联立求出sinx与cosx的值，即可求出tanx的值． 解答： 解：（1）∵tanθ=2，
∴原式=
（2）∵sinx+cosx=， ∴（sinx+cosx）=∵﹣
＜x＜
2
==﹣1；
，即2sinxcosx=﹣＜0，
，∴sinx＜0，cosx＞0，
∴（sinx﹣cosx）=1﹣2sinxcosx=∴sinx﹣cosx=﹣， ∴sinx=﹣，cosx=， ∴tanx=﹣．
2
，
点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
20．（14分）已知函数f（x）=Asin（wx+
）（A＞0，w＞0）的最小正周期为π，且x∈时，f（x）的最大
值为4，
（1）求A的值；
（2）求函数f（x）在上的单调递增区间．
考点： 正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析： （1）由周期公式可先求w，得解析式f（x）=Asin（2x+可求A的值．
（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+
），由﹣
+2kπ≤2x+
≤
），由x∈，可得≤2x+≤，即
+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，又由x∈，
即可求函数f（x）在上的单调递增区间． 解答： 解：（1）由T=π=∴w=2，
∴f（x）=Asin（2x+∵x∈， ∴
≤2x+
≤
，
），
，
∴sin（2x+）∈，
∴fmax（x）=A=4…（7分） （2）由（1）得f（x）=4sin（2x+∵﹣∴﹣
+2kπ≤2x++kπ≤x≤
≤
+2kπ，
），
+kπ，
又∵x∈，
故f（x）的增区间是
…（12分）
（其他方法请酌情给分）
点评： 本题主要考察了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的周期性，单调性，属于基础题．
21．（14分）已知函数f（x）=x﹣1，g（x）=x+1．
（1）若当x∈R时，不等式f（x）≥λg（x）恒成立，求实数λ的取值范围； （2）求函数h（x）=|f（x）|+λ|g（x）|在区间x∈上的最大值．
考点： 函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题． 专题： 综合题；函数的性质及应用．
2
分析： （1）当x∈R时，不等式f（x）≥λg（x）恒成立，可得△=λ+4λ+4≤0，即可求实数λ的取值范围； （2）分类讨论，利用配方法，即可求函数h（x）=|f（x）|+λ|g（x）|在区间x∈上的最大值．
2
解答： 解：（1）∵x﹣1≥λ（x+1），x∈R恒成立，
2
∴x﹣λx﹣λ﹣1≥0，x∈R恒成立，
2
∴△=λ+4λ+4≤0，∴λ=﹣2…（5分）
2
（2）∵
①当﹣2≤x≤﹣1时，，
（ⅰ）当λ≤﹣3时，hmax=h（﹣1）=0；（ⅱ）当λ＞﹣3时，hmax=h（﹣2）=λ+3； ②当﹣1＜x≤0时，
，
（ⅰ）当λ≤﹣2时，h（x）＜h（﹣1）=0；（ⅱ）当λ≥0时，hmax=h（0）=λ+1； （ⅲ）当﹣2＜λ＜0时，
，
综上：①当λ≤﹣3时，hmax=0；②当λ＞﹣3时，hmax=λ+3．…（9分）
点评： 本题考查恒成立问题，考查函数在区间x∈上的最大值，考查配方法，属于中档题．