长沙学院毕业设计(论文)
摘 要
有理函数逼近理论及其应用是逼近问题研究中的重要组成部分。本文介绍了有理函数逼近定义、构造及其相关知识，同时研究了有理函数插值的存在性与唯一性，介绍了几种常见的有理逼近。最主要的是对有理函数逼近的应用进行了研究。首先是利用倒插商和有理函数的唯一性求解数值优化问题，结果表明这种方法在求解数值优化问题时速度快，精度高。其次是基于Thiele连分式逼近，重新推导了Halley迭代公式。采用倒数可以被差商近似的办法，得到两个多初始点的迭代公式，从而避免了求导运算。
关键词：函数，有理逼近，倒插商，有理插值
I
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ABSTRACT
The rational function approximation theory and its application is approximation
to the important component. This paper introduces the definition, a rational function approximation structure and its related knowledge, and of a rational function the existence and the uniqueness of the interpolation, introduces several common rational approximation. The main is a rational function approximation to the application of research. First is to use Inverted plug Manufacturers and the uniqueness of a rational function solving numerical optimization problem, and the result shows that the method in solving numerical optimization problem speed and precision. Second is based on Thiele even fraction approaching, and deduced the formula to Halley iteration. The bottom can be difference quotient approximation method, get more than two initial point iterative formula so as to avoid the derivation operations.
Keywords: function, rational approximation, Inverted plug Manufacturers，
rational interpolation
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目 录
第一章 绪 论 ........................................... 1
1.1 有理逼近的研究背景..................................................................................... 1
1.2 有理逼近的研究目的及意义......................................................................... 1
第二章 有理逼近相关知识介绍 .............................. 4
2.1 有理逼近的定义............................................................................................. 4
2.2 逼近函数的构造............................................................................................. 5 2.3几种常见的有理逼近...................................................................................... 8
2.3.1 Padé逼近............................................................................................. 8 2.3.2 Müntz有理逼近................................................................................... 8 2.3.3 最佳有理分式逼近.............................................................................. 8
第三章 有理插值函数的存在性及唯一性 ...................... 9
3.1 有理插值问题的存在性............................................................................... 10
3.2 有理插值函数的唯一性............................................................................... 11
第四章 有理函数逼近的应用 ............... 错误！未定义书签。
4.1 基于有理逼近的Halley迭代公式............................. 错误！未定义书签。
4.1.1 预备知识............................................................ 错误！未定义书签。 4.1.2 Halley迭代公式............................................... 错误！未定义书签。 4.2 Padé逼近的有关应用.................................................. 错误！未定义书签。
4.2.1计算散射问题时Padé逼近的应用................... 错误！未定义书签。 4.2.2 有理降阶模型在电磁问题中的应用................ 错误！未定义书签。 4.2.3 Padé逼近在偏微分方程数值解中的应用....... 错误！未定义书签。 4.3 有理逼近在合元极技术中的应用............................... 错误！未定义书签。
4.3.1 预备知识............................................................ 错误！未定义书签。 4.3.2 有理逼近在合元极技术应用中的数学表述.... 错误！未定义书签。 4.3.3 MBPE技术在合元极技术中的应用................... 错误！未定义书签。
第五章 结 论 ............................................ 13 参考文献 ................................................ 14 致 谢 ................................................. 15
III
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第一章 绪 论
1.1 有理逼近的研究背景及意义
我们知道，在自然科学与技术科学领域中存在着大量的需要解决的非线性问题。原则上说，逼近问题中的参数的引述可以采用任何（线性或非线性）形式，甚至可以包含隐性参数。但是由于非线性问题的普遍性，很难将其概括成一般的理论。作为非线性逼近的一个重要特殊形式，有理函数逼近（即有理逼近）无论在实践还是在应用中都越来越受到人们的关注，因为有理函数仍属于简单函数类。它虽然比多项式要复杂，但用它来近似表示函数时却比多项式更灵活、有效，且更能反映被逼近函数的某些固有特征，如奇性、几何特征等。所以，近年来人们在数值与函数逼近问题以及计算机辅助几何设计的研究中取得了一系列深刻的结果。由于有理函数逼近的实现比多项式逼近的实现就运算复杂性而言要复杂的多，但随着高性能、大容量计算机的出现，使得过去难以实现的问题变为可能，所以关于有理逼近的理论研究和应用有着巨大的发展潜力。
众所周知，有理逼近的目的是用较简单的函数来近似较复杂的函数，由于有理函数自身的特点，使它可以在极点附近取得很好的逼近效果。近年来，在这一方面的研究成果不断涌现，其中许多都是非常有意义的。例如In(1+x)有如（1-1）
[1]
式的分式展开。
x12x12x22x22xIn(1?x)????????? （1-1）
12245取第n级渐近分式，即可得到In(1+x)的有理逼近式Rn(x)。一般地，Rn(x)是是In(1+x)的[n/n]Padé逼近,它的展开式将含有In(1+x)的Taylor展开式前2n项的和T2n(x)，并且Rn(x)与T2n(x)的独立参数个数相同。记?R与?T分别表示Rn(x)与T2n(x)的逼近误差，并取x=1。两种逼近的计算结果与误差对比如表1。
表1 In(1+x)的[n/n]Padé逼近与2n阶Taylor多项式逼近比较
?R ?T n Rn(1) S2n(1)
1 0.667 0.26?10-1 0.5 0.19 2 0.69231 0.84?10-3 0.58 0.11
-4
3 0.693122 0.25?10 0.617 0.76?10-1 4 0.69314642 0.76?10-6 0.634 0.58?10--2 由表1可知，R4(1) 比T8(1)的精确度高几乎105倍。这就说明开展某些函数的有理逼近或一般非线性逼近问题的研究是十分必要的。正因为如此，最近三十多年来人们在数值逼近、函数近似表示、计算机辅助几何设计中中更偏向有理函数。随着科学技术的不断发展，有理逼近方法已在实际应用中显示出巨大的优势和开发潜力。
1.2 函数逼近和赋范空间
1.2.1函数逼近与函数空间
在数值计算中经常要计算函数值，如计算机上计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在已知点集上给出函数值时，而需要用公式逼近点集所在的区间
1
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上的函数。这些都涉及到用多项式、有理分式或分段多项式等便于在计算机上计算的简单函数逼近已给函数，使它达到精度要求而且计算量尽量小。这就是数值逼近研究的问题。数值逼近是数值计算中最基本的问题。为了在数学上描述更精确，下面先介绍一些基本概念及预备知识。
数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。例如，在“线性代数”中将所有实n组成的，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间记作R，称为n维向量空间。类似地，对次数不超过n的实系数多项式全体，按通常多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R上的一个线性空间，用Hn表示，称为多项式空间。又如所有定义在区间[a,b]上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R上的线性空间，记作 C[a,b],称为函数空间。定义1.1 设集合S是数域P上的线性空间，x1,...,xn?S，如果存在不全为零的数a1,...,an?P使得
a1x1?a2x2?...?anxn?0 （1.1）
则称x1,???,xn是线性相关的；否则，若等式（1.1）只对a1?a2?????an?0成立，则称x1,???,xn是线性无关的。
若S是由n个线性无关元素 x1,???,xn生成的，即?x?S都x?a1x1?????anxn，则称 x1,???,xn是S的一组基，记作S?span{x1???xn}，并称S是n维的。
下面考察次数不超过n的多项式集合Hn，其元素
pn(x)?a0?a1x????anxn （1.2）是由n?1个系数（a0,a1???an）唯一确定的，1，x,???xn 线性无关，
Hn=span{1,x,???,xn}，（a0,a1,???,an）是pn(x)的坐标向量，故Hn是n?1维的。
对连续函数f(x)?C[a,b]它不能用有限个线性无关的函数表示，故C[a,b]是无限维的，但f(x)可用有限维的多项式空间Hn的元素p(x)逼近，使误差maxf(x)?p(x)??（任何给定的小正数），这就是著名的维尔斯特拉斯定理。
a?x?bn定理1.1 设f(x)?C[a,b]，则对???0,?pn(x)?Hn使得f(x)?p(x)??在
[a,b]上一致成立。
此定理在数学分析中找到证明。1912年伯恩斯坦构造了一个多项式
nknkk （1.3） Bn(f,x)??f(Ck)x?(x1?n )nk?0n(n?1)???(n?k?1)其中Ckn?为二项式展开系数，并证明了limBn(f,x)在[0,1]上
x??k!(m)(f,x)?f(m)(x)。一致成立，若f(x)在[0,1]上m阶可导则还有limBn这也从理论
x??上给出了定理1.1的证明。
1.2.2范数与赋范空间
为了在线性空间中衡量元素的大小，可将在Rn空间的范数定义推广到一般
线性空间S.
定义1.2 设f?S,若存在唯一实数?，满足条件
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