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（1）f?0当且仅当f?0时f?0； （2）af?af,a?R;
（3）f?g?f?g,?f,g?S;
则称?为线性空间S上的范数。在线性空间S上定义了范数?，称为赋范线性空间，记为X.
例如，在Rn上的向量x?(x1,???xn)T的三种常用范数为
x??maxxi，称?-范数或最大范数；
1?i?n x1??xi，称为1-范数；
i?1n x2?(?xi)，称为2-范数。
i?1n122类似地对连续函数空间C[a,b]的f(x)也可以定义以下三种范数： f??maxf(x)，称为?-范数；
a?x?b f f1??f(x)dx，称为1-范数；
ab2?(?f(x)dx)，称为2-范数。
ab212可以验证，这样定义的范数??，?1，?2满足定义1.2中的3个条件。 定义1.3 设X为赋范线性空间，其范数为?，若序列{?n}?0?X，f?X,使
lim?n?f?0
n??则称序列{?n}?记作lim?n?f。对f(x)?C[a,b]及??，0依范数?收敛于f，
n??上述收敛定义就是{?n}?0在区间[a,b]上一致收敛于f(x)。若范数为2-范数，则称上述收敛定义为平方收敛或均方收敛。
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第二章 函数的有理逼近
2.1 有理逼近的定义及构造
有理逼近作为非线性逼近的一个重要特殊情形，其实就是用一个易于计算的有理函数来有效地近似较复杂的已知函数。下面引进有理逼近方法，先介绍有理函数插值的概念。
设已给定m+n+1个不同的点x0,x1,???,xm+n和相应地函数值f(x0),f(x1),???f(xm+n),所谓的有理函数插值问题，乃是求有理分式函数
Nm(x)amxm?am?1xm?1?????a1x?a0 Rm,n(x)? （2-1） ?nn?1Dn(x)bnx?bn?1x?????b1x?b0使之满足插值条件如式（2-2）。
Rm,n(xj)?f(xj)，j?0,1,???,m?n （2-2） 其中Nm(x),Dn(x)分别为x的m与n次多项式，m与n是给定的非负整数。
有理函数的逼近方法是用有理函数Rm,n(x) = Nm(x)/Dn(x)来近似函数f(x).即令f(x)?Nm(x)/Dn(x),Nm(x)?f(x)Dn(x),比较两边的系数，可得
Nm(x)?f(x)Dn(x)?x?m?n?1?rxkk?0?k （2-3）
用Rm,n(x)近似f(x)时，其截断误差的主要部分是E= r0xm+n+1/Dn(x)（这里设f(x) =
?cxkk?0k),大量计算例子表明，采用m,n相等或接近相等时为最佳。
对于有理逼近中有理函数的构造存在着许多种构造方法（如多项式、有理分式等）。但在通常情况下一般利用连分式来构造有理函数Rm,n(x)。首先按递推的方法给出如式（2-4）倒差商的定义。
a0(x)?f(x)??x?x0a(x)??1?a0(x)?a0(x0) （2-4） ????????x?xk?1?ak(x)?,k?1,2,???,m?n?a(x)?a(x)k?1k?1k?1?设连分函数如式（2-5）。
x?x0 R(x)?a0? （2-5）
x?x1a1?x?x2a2?x?xm?n?1??am?nx?x0x?x1x?xm?n?1一般写成R(x)?a0? （2-6） ??????a1a2am?n其中a0 = a0(x),a1 = a1(x),???,am+n = am+n(x)为倒差商。将右式整理，即完成了有理函数Rm,n(x)的构造。例如函数f?1?x，可以利用逐次迭代算法的到如式（2-7）形式的连分式展开。因为f?1?x，即为f2?1?x。
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f?x?1? f?1?1?fx(1?1?xx(1?1?)(1?f)) （2-7）
x无限迭代下去就可以得到f?1?x的连分式展开如式（2-8）。 (1?f)xxx1?x?1? 2?2????2???? （2-8） m,n相等或接近相等时为最佳。
用f?1?2.2 有理插值问题的存在性及唯一性
作为有理逼近研究的重要组成部分，有理函数插值的理论及其应用一直是计算数学中备受关注的课题。和多项式插值的研究一样，有理函数插值在唯一性、算法、误差估计及有理函数样条等方面均取得了许多研究成果。然而对于实现任意给定的插值条件，有理插值函数并不总是存在，而唯一性、算法、误差分析等结果也是假定所讨论的有理插值函数总是存在的，如果存在性问题得不到很好的解决，势必影响这些结果在使用上的性能。因此无论从理论上还是冲实际应用上，有理插值函数存在性问题的研究都显得至关重要。
2.2.1有理插值函数的存在性
关于有理函数插值的定义在本文第二章中已经详细给出。在其基础上定义两个有理函数如式（3-1）。
p(x)p(x) r1(x)?1， r2(x)?2 （3-1）
q1(x)q2(x)如果存在一个非零常数a，使得
p2(x)?ap1(x)，q2(x)?aq1(x) （3-2） 则称二者恒等，并记为r1(x)?r2(x)。 如果满足式（3-3），则称两个有理函数r1(x)与r2(x)等价，记为 r1(x) ~ r2(x) 。 p1(x)q2(x)?p2(x)q1(x) （3-3）
一般来说，插值问题（3-2）、（3-3）所形成的问题是一个非线性问题。但是当有理分式函数r(x) = p(x)/q(x)是插值问题的解时，当然也有
p(xi)?f(xi)q(xi)?(a0?a1xi?????amxim)?f(xi)(b0?b1xi?????bnxin) （3-4）
?0，i?1，2，???，m?n。它是关于未知数a0，a1，???，am ; b0，b1，???，bn的一个线性方程组。
下面的定理是对方程组（3-4）与插值问题（3-2）、（3-3）的关系做了回答。 定理3.1 有理插值问题（3-2）、（3-3）有解的充分必要条件是线性方程组（3-4）的任意平凡解p*(x)，q*(x)在约去一切公因子（即约化为两互质多项式）后所得的多项式。A(x) ，B(x)仍然是线性方程组（3-4）的解，即
1，???，m?n。 A(xi)?f(xi)B(xi)?0，i?0， （3-5） 下面介绍有理插值问题（3-2）、（3-3）存在性的一些结果。
N.Macon和D.E.Dupree研究了有理插值问题（3-2）、（3-3）解的存在唯一性。定
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义行列式?和矩阵T如下：
11???11?1??1 T?????1?xx?01xx?202?????2021xxxxm0m1yy?01xyxy010?????01xyxyn0n101?mm?nm??xm?nxxx2m?n2ym?nxym?nm?nyxy0xyxynm?nnn?10n?1 （3-6）
m?nxx?01xx?????1xxxm?10m?11yy?1xyxy011?m?1m?n?xm?nx2m?nym?nxym?nm?n?0???11? （3-7） ???n?1?xm?ny?m?n??xyxy在?不恒为零时，有
定理3.2 设(xi，fi)，i?0，、1，???，m?n中各xi互异，则有理插值问题（3-2）（3-3）有解的充要条件是各个矩阵Ti，i=0，1，???，m+n是非奇异的，其中Ti是矩阵T去掉第i行后余下的元素按原来的结构次序构成的矩阵。 若?恒为零，有
定理3.3 若对于i=0,1，???，m+n，Ti的秩是一常数，则一定存在有理函数r(x) = p(x)/q(x)?R(m/n)满足插值条件（3-3）。
上述方法在实际应用中的计算量是很大的，因为要判断满足插值条件（3-3）的有理函数r(x) = p(x)/q(x)?R(m/n)是否存在，需要计算m+n+1个(m+n)?(m+n)阶矩阵的秩。
朱晓临[9,10]利用Newton插值公式，给出了一种快速、简便又使用的判别方法。
设
w0(x)?1，? （3-8） ?w(x)?(x?x)(x?x)???(x?x)，j?1，2，???，N?m?n，01j?1?j?1??1?()wx11??? （3-9） A??1w1(x2)w2(x2)
?????????1w(x)w(x)?w(x)?1N2NNN??
A的逆为
?(0)?d0(0)?1?d1A???(0)? ?dN 其中
dd(1)1(1)N?????(N) dN?? （3-10）
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k?1(k)dk?，wk?1(xj)??(xj?xi)，?wk?1(xk)?i?0;i?j ?
1(j)j?dk?dk?1，k?j?1，???，N，j?0，1，???，Nxj?xk??定理3.4 满足插值条件（3-3）的有理函数 r(x) = p(x)/q(x)?R(m/n)存在的
充要条件是方程组（其中N=n+m）
(0)??d(n0?)1?dn?2???(0)?dN ?(0)f?0dm?1(0)?f?0dm?2??(0)??f0dN?dd(1)n?1(1)n?2(1)N(1)m?2(1)m?2(1)N????????ddd(n?1)n?1(n?!)n?2ddff(n?2)n?2??(n?1)N(m?1)m?(m?1)m?2(m?1)N?(n?2)N??dfdfd11fdfdm?1m?1m?2d?(m?2)m?2???(m?2)Nfd1fdm?1mkm?2d???????q?0?0???(N)???q1??0?dN? ??????????????q??0??n????(N)?fNdN??存在一组解[q0,q1,???,qm?n]T满足qk?0，k?0，且 1，???，N，p(x)?q(x)f0q0??(?dk(i)fiqi)wk(x)q0??(?dk(i)qi)wk(x)k?1i?0k?1ni?0k r(x)? （3-12）
其中qk?q(xk)，k?0， 1，???，N。2.2.2有理插值函数的唯一性
设有两个分子和分母已经约去了公因子的有理函数
Rm,n(x)?Pm(x)/Qn(x)，Rm,n(x)?Pm(x)/Qn(x) （3-13） 满足相同的插值条件如式（3-14）。
1，???，m?n) （3-14） Rm,n(xi)?Rm,n(xi)?f(xi) (i?0，其中Pm(x)，Pm(x)是x的m次多项式；Qn(x)，Qn(x)是x的n次多项式；m和n都是非负整数。根据插值条件（3-14），有
1，???，m?n) （3-15） Pm(xi)Qn(xi)?Qn(xi)Pm(xi)?0 (i?0，这说明次数不超过m+n次的多项式Pm(xi)Qn(xi)?Qn(xi)Pm(xi)有m+n+1个
零点。按代数基本定理，必有
H(x)?Pm(x)Qn(x)?Qn(x)Pm(x)?0 （3-16）
因为Pm(x)与Qn(x)没有公因子，所以Pm(x)的因子必被Pm(x)包含。类似地，由于Pm(x)与Qn(x)没有公因子，因此pm(x)的因子也必被Pm(x)包含，于是Pm(x)和Pm(x)只能相差一个常数因子a?0，即Pm(x)=aPm(x)，将此结果带入H(x)，并约去Pm(x)，即得Qm(x)?aQm(x)，因此有Rm,n(x)?Rm,n(x)。即有理插值问题
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