九，（10分）求出二点Gauss求积公式?f(x)dx?H0f(x0)?H1f(x1)中系数H0，H1及节点x0，
?11?。 x1。并用此公式计算积分I??2cosxdx（结果保留5位小数）
03?x12?x1x2?9??十，（6分）用逆Broyden秩1方法求方程组F(x)???3x2x?x3?4??0的解，取初值2?12?x0?(x1,x2)T?(1.2,1.6)T，来计算迭代二次的值。
??4140???十一，（6分）使用乘幂法求矩阵A???5130?的最大特征值和对应的特征向量（只需计
??102???算前两次迭代的值）
十二，（20分）考虑线性多步方法yn?1???(yn?yn?1)?yn?2?1(3??)h(y'n?y'n?1) 2（1） 证明存在?的一个值使方法是4阶的； （2） 写出局部截断误差的首项；
（3） 当使用用4阶方法时，需要几个初始启动值（表头），通常情况用什么方法计算表头；
举出一个实例并写出公式表达式；
（4） 讨论收敛性，如方法是收敛的，其阶数应不超过多少？ （5） 讨论绝对稳定性。
pp1q（其中在局部截断误差中Cq?{1?[?(?i)ai?q?(?1)q?1bi]}
q!i?0i??1q?2,3,?
?t1?t2?t3??a?三次方程t3?at2?bt?c?0根t1，t2，t3满足关系?t1t2?t2t3?t3t1?b ）
?t1t2t3??c?
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2001/2002年研究生“数值分析”试题
一，
试解答下列问题
1，已知f(x)?x5?3x4?4x3?1，求：
f[e0,e1,e2,e3,e4,e5]和f[e0,e1,e2,e3,e4,e5,e6] 2，若yn?2n求?4yn和?4yn
3，判断下列函数是否是三次样条函数 i
0??f(x)??x3?x3?(x?1)2??x3?2x?1f(x)??3?2x?2x?1－1?x?00?x?1 1?x?2?1?x?0
0?x?1ii
?1?3?4，已知A???求Ap，p?1,2,?,F ?24??5，试用Euler（尤拉）公式求解初值问题（h?0.1）
2x?0?x?0.3?y'?y?, y???y(0)?11的Newton（牛顿）迭代公式，要求在迭代中不含除法运a21算，证明当初值x0满足0?x0?时，此算法是收敛的，并用此算法计算的近似值（保
a99留4位小数）。
三， 应用Doolittle（杜利特尔）方法解线性方程组
二， 设a?0为实数，试建立求
x1?2x2?x3?02x1?2x2?3x3?3 ?x1?3x2?2四，
设给出cosx的函数表(0??x?90?,h?1'?(1)?) 6015.0333? 15.05???90? cosx 1??0.96593 0.96570??0 0.96585 0.96578 研究用此表进行线性插值求cosx近似值时的最大截断误差界，并用二次Lagrange（拉格朗日）插值计算15.03?的近似值。
x 0???15.0000? 15.0167? 五，
已知Legedre（勒让德）多项式P1(x)的零点为?1dx的近似值。（保留4位小数）
?41?x2413，试用Gauss－Legedre求积公式
计算?
7
六，
应用Romberg（龙贝格）积分法计算定积分?311dx的近似值（精确到小数点后4位，x其真值为1.098612289）。
七， 试讨论求解常微分方程初值问题的Simpson（辛卜生）方法
hyn?1?yn?1?(y'n?1?4y'n?y'n?1)
3的稳定性
八， 分别用Jocobi（雅可比）和Gauss－Seidel（高斯－塞德尔）迭代求解下面的方程组（初
值取x0?(0,0,0)T计算x1和x4）
x(2)?4x(3)?2?x(1)?4x(2)?x(3)?6
4x(1)?x( )?2九， 试回答，在Lagrange（拉格朗日）插值方法中，是否插值多项式的次数越高，插值精
度也越高？为什么？
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2000年研究生“数值分析”试题
一， 填空（20分）
1，n＋1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为________次，最高为________次。 2，SOR方法收敛的必要条件：松弛因子?满足条件_________。
3，对于插值型求积公式?f(x)dx??Akf(xk)，其节点xk(k?0,1,?,n)是高斯点的充分必要
?1k?01n条件是_________。
4，设A?(aij)为n×n矩阵，则A1=________，A?=________。
5，设解方程组Ax?b的迭代法为xk?1?Bxk?d，则迭代收敛的充分必要条件是________。 6，判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否）
0??f(x)?x3（1）??x3?(x?1)2? 二，（10分）
－1?x?0?x3?2x?10?x?1 （2）f(x)??3?2x?2x?11?x?2?1?x?0
0?x?1?x在?2?x??2上给出f(x)?e等距节点函数运用二次插值求e?x的近似值，要使误差
不超过10?6，问使用函数表的步长应取多大？ 三，（10分）
给出函数表 xi fi 求有理插值 四，（10分）
0 1 1 1/2 2 1/5 3 1/10 4 1/17 设f(x)在?x0,x3?上有三阶连续导数，且x0?x1?x2?x3，
试作一个次数不高于四次的多项式p(x)，满足条件
p(xj)?f(xj) p'(x1)?f'(x1)
j?0，1，2，3
推导它的余项E(x)?f(x)?p(x)的表达式 五，（10分）
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试用Romberg（龙贝格）方法，计算积分
?311dx，并精确到小数点后4位。 x 六，（10分）
利用数值积分的Simpson（辛甫生）公式，导出公式
yn?1?yn?1?并指出次方法的阶 七，（10分）
h(y'n?1?4y'n?y'n?1) 3设f(x)?0的单根?，x?F(x)是f(x)?0的等价方程，则：F(x)可表为
F(x)?x?m(x)f(x)
证明： 当m(?)?[f'(?)]时，F(x)是一阶的。
当m(?)?[f'(?)]时，F(x)至少是二阶的。
?1?1 八，（10分）
试对方程组
?2x1?3x2?15x3?30??20x1?2x2?3x3?24，对收敛的Gauss－Seidel迭代格式，并取x(0)?(0,0,0)T， ?x?8x?x?1223?1计算到x(2)
九，（10分）试证明高斯求积公式?f(x)dx??Akf(xk)的求积系数Ak恒为正。
?1k?11n一，（10分）设?是f(x)?0的m重根(m?1)，证明Newton迭代仅为线性收敛；并写出一个平方收敛
的Newton迭代公式。
21??x1??0??1??????23??x2???3? 二，（8分）用Doolittle分解法解方程组?2??1?30??x??2????3???三，（10分）用迭代公式x(k?1)?32??x(k)??(Ax(k)?b)求解Ax?b，若A???12??，
??问（1）?取何值的范围迭代收敛？（2）?取何值时迭代收敛最快？
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四，（10分）设f(x)?sinx，求[0,?2***]上的一次最佳平方逼近多项式p1(x)?a0?a1x
五，（6分）用共轭梯度法方法（CG方法）解方程组???21??x1??3??? ??????????15??x2??1?六，（10分）求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计
?xx??。
?240??179??319??x1??3???? ???240??x2??4? ，
Ax?b
?319.5??x1??3??240??179.5??x???4?
240???2???
七，（8分）设f(x)?C处有
n?2，
(A??A)(x??)?b
[a,b]，y(x)是以x0,x1,?xn为节点的n次插值多项式，试推导：在一节点xkf(n?1)(?)f'(xk)?y'(xk)?p'n?1(xk)
(n?1)!其中pn?1(x)?(x?x0)?(x?xn)
八，（8分）推导出复化梯形求积公式及误差公式。
九，（10分）确定求积公式
，??(a,b)
?1?1f(x)dx?A1f(?33)?A2f()中系数A1,A2使公式有尽可能高的代数精33?度；代数精度是多少？并用此公式计算积分I??20cosxdx（结果保留5位小数）。
3???123??1?2?的最大特征值和对应的特征向量（只需计算前两次十，（6分）使用乘幂法求矩阵A??3?3?27???迭代的值）取初值v0?(1,1,1)T
十一，（14分）对二步法yn?1?ayn?1?h(by'n?1?cy'n?dy'n?1) （1） 确定a,b,c,d，使方法是4阶的； （2） 讨论4阶方法的收敛性和稳定性；
（3） 其中：在线性多步法的局部截断误差中
pp1qCq?{1?[?(?i)ai?q?(?i)q?1bi]}
q!i?0i??1q?2
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