20．（8分）（2013?恩施州）如图所示，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），反比例函数的图象经过点C． （1）求点C的坐标及反比例函数的解析式． （2）将等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，求n的值．
考点：反 比例函数综合题． 分析： （1）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y=，根据等边三角形的知识求出AC和CD的长度，即可求出C点的坐标，把C点坐标代入反比例函数解析式求出k的值． （2）若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，则此时B点的横坐标即为6，求出纵坐标，即可求出n的值． 解答： 解：（1）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y=， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=6，∠CAB=60°， ∴AD=3，CD=sin60°×AC=×6=3， ∴点C坐标为（3，3）， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴k=9， ∴反比例函数的解析式y=； （2）若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上， 则此时B点的横坐标为6， 即纵坐标y==，也是向上平移n=． - 11 -
点评：本 题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的相关知识，此题难度不大，是中考的常考点． 21．（8分）（2013?恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110，到达B处，测得“香顶”N的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：
，
）．
考点：解 直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：首 先过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，可得四边形BEDF是矩形，然后在Rt△ABE中，由三角函数的性质，可求得AE与BE的长，再设BF=x米，利用三角函数的知识即可求得方程：55+x=x+55，继而可求得答案． 解答：解 ：过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E， ∵∠D=90°， ∴四边形BEDF是矩形， ∴BE=DF，BF=DE， 在Rt△ABE中，AE=AB?cos30°=110×设BF=x米，则AD=AE+ED=55在Rt△BFN中，NF=BF?tan60°=∴DN=DF+NF=55+x（米）， ∵∠NAD=45°， ∴AD=DN，
=55（米），BE=AB?sin30°=×110=55（米）； +x（米）， x（米）， - 12 -
即55+x=x+55， 解得：x=55， ∴DN=55+x≈150（米）． 答：“一炷香”的高度为150米． 点评：本 题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 22．（10分）（2013?恩施州）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件． （1）求这两种商品的进价．
（2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 考点：一 元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用． 分析： （1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，就有x=y，3x+y=200，由这两个方程构成方程组求出其解既可以； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，根据不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品100的货款建立不等式，求出其值就可以得出进货 方案，设利润为W元，根据利润=售价﹣进价建立解析式就可以求出结论． 解答：解 ：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意，得 ， 解得：． 答：商品的进价为40元，乙商品的进价为80元； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，由题意，得 ， 解得：29≤m≤32 - 13 -
∵m为整数， ∴m=30，31，32， 故有三种进货方案： 方案1，甲种商品30件，乙商品70件， 方案2，甲种商品31件，乙商品69件， 方案3，甲种商品32件，乙商品68件， 设利润为W元，由题意，得 W=40m+50（100﹣m）， =﹣10m+5000 ∵k=﹣10＜0， ∴W随m的增大而减小， ∴m=30时，W最大=4700． 点评：本 题考查了列二元依稀方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，方案设计的运用，一次函数的性质的运用，在解答时求出利润的解析式是关键． 23．（10分）（2013?恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．
考点：切 线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 专题：证 明题． 分析：（ 1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF； （3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF 然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可． 解答：（ 1）证明：连结OC，如图， ∵C是劣弧AE的中点， ∴OC⊥AE， ∵CG∥AE， - 14 -
∴CG⊥OC， ∴CG是⊙O的切线； （2）证明：连结AC、BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠2+∠BCD=90°， 而CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠2， ∵AC弧=CE弧， ∴∠1=∠B， ∴∠1=∠2， ∴AF=CF； （3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2， ∴DF=AF=1， ∴AD=DF=， ∵AF∥CG， ∴DA：AG=DF：CF，即∴AG=2． ：AG=1：2， 点评：本 题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定． 24．（12分）（2013?恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）． （1）求直线BD和抛物线的解析式．
（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
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