考点：二 次函数综合题． 分析：（ 1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式； （2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个； （3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解． 解答：解 ：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣1，0），B（0，3）； ∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）． 设直线BD的解析式为：y=kx+b， ∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上， ∴， 解得k=﹣1，b=3， ∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3． 设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3）， ∵点B（0，3）在抛物线上， ∴3=a×（﹣1）×（﹣3）， 解得：a=1， 2∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x﹣4x+3． （2）抛物线的解析式为：y=x﹣4x+3=（x﹣2）﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）． 直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1， ∴M（2，1）． 设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MN=1， ∴△MCD为等腰直角三角形． ∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似， ∴△BND为等腰直角三角形． 如答图1所示： （I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O， ∴N1（0，0）；
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（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上， ∵OB=OD=ON2=3， ∴N2（﹣3，0）； （III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上， ∵OB=OD=ON3=3， ∴N3（0，﹣3）． ∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）． （3）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）． （I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示： 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3． S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）?m﹣×3×3﹣（m﹣3）?n=6， 化简得：m+n=7 ①， ∵P（m，n）在抛物线上， 2∴n=m﹣4m+3， 2代入①式整理得：m﹣3m﹣4=0， 解得：m1=4，m2=﹣1， ∴n1=3，n2=8， ∴P1（4，3），P2（﹣1，8）； （II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示： 过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n． S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）?（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）?m=6， 化简得：m+n=﹣1 ②， ∵P（m，n）在抛物线上， 2∴n=m﹣4m+3， 2代入②式整理得：m﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解． 故此时点P不存在． 综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）． - 17 -
点评：本 题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解． - 18 -