12cosxsinxdx?2sintdt?2sintdt)?(?0?02n?1?02nnnnn?1????20sinntdt?12n???2sinnxdx
又，
???2sinxdxx??n?2n?t???costdt??2cosnxdx
200?n1因此，?2cosxsinxdx?n02n??20cosnxdx
a?a5．设?(t)是正值连续函数，f(x)??x?t?(t)dt,?a?x?a(a?0),则曲线
y?f(x)在??a,a?上是凹的。
证明：f(x)??xx?a(x?t)?(t)dt??(t?x)?(t)dt
xxxa?a?axa ?x??(t)dt??t?(t)dt??t?(t)dt?x??(t)dt
?a f?(x)???(t)dt???(t)dt???(t)dt???(t)dt
?ax?aaxaxx f?(x)??(x)??(x)?2?(x)?0 故，曲线y?f(x)在??a,a?上是凹的。
dxdxx?6.证明：??11?x2 x1?x211dx证明：?x1?x21令x??1u1dudxxx?(?du)???1x1?11?u2?11?x2 u21?2u11117．设f(x)是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则 证明：? ??a?Taf(x)dx??f(x)dx
0T?a?TTf(x)dx令x?u?T??a0f(u?T)du??f(x?T)dx0a?f(x)以T为周期f(x?T)?f(x)??a0f(x)dx
?a0f(x)dx??a?TTf(x)dx?0
在等式两端各加
?T0f(x)dx，于是得
?a?Taf(x)dx??f(x)dx
0T
xux8．若f(x)是连续函数，则???f(t)dt?du??(x?u)f(u)du
?0?0?0?xuuxx证明：???f(t)dt?du?u?f(t)dt??uf(u)du
?0?0?0?00 ?x?f(t)dt??uf(u)du
00xx ??(x?u)f(u)du
0x
9．设f(x)，g(x)在?a,b?上连续，证明至少存在一个??(a,b)使得 f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx
?ab?证明：作辅助函数F(x)??f(t)dt?g(t)dt，由于f(x),g(x)在?a,b?上连续，所以
axxbF(x)在?a,b?上连续，在（a,b）内可导，并有F(a)?F(b)?0 由洛尔定理F?(?)?0,??(a,b)
xb即??f(t)dt?g(t)dt???x?a??xx??bx??f(x)?g(t)dt??f(t)dt?g(x)???xa??x??
?f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx
?ab? ＝0 亦即，f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx
?ab?
bb210．设f(x)在?a,b?上连续，证明：???af(x)dx???(b?a)?af(x)dx
??2xx?? 证明：令F(x)???f(t)dt??(x?a)?f2(t)dt
a?a?2 ?F?(x)????f(t)?f(x)?dt?0
2ax 故f(x)是 ?a,b?上的减函数，又F(a)?0，F(b)?F(a)?0
bb??故 ??f(x)dx??(b?a)?f2(x)dx
a?a?2
11．设f(x)在?a,b?上可导，且f?(x)?M，f(a)?0证明：
?baf(x)dx?M(b?a)2 2 证明：由题设对?x??a,b?,可知f(x)在?a,b?上满足拉氏微分中值定理，于是有
f(x)?f(x)?f(a)?f?(?)(x?a),???a,x? 又f?(x)?M，因而，f(x)?M(x?a) 由定积分比较定理，有
?baf(x)dx??M(x?a)dx?abM(b?a)2 2