实验二 数字图像变换
一、实验目的
1、了解图像变换的意义和手段 2、熟悉傅立叶变换的基本性质 3、熟练掌握FFT变换方法及应用 4、通过实验了解二维频谱的分布特点 5、掌握图片的压缩技术原理
二、实验原理
1、 应用傅立叶变换进行图像处理
傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。
离散傅里叶变换具有许多重要的性质，这些性质为实际运算提供了极大的方便。例如，根据变换核的可分离性，二维离散傅里叶变换可以通过两次一维离散傅里叶变换来实现；根据周期性，只需要一个周期就可以将整个变换完全确定；根据共轭对称性，只需要半个周期的变换就可以获得整个频谱。
图像傅里叶变换是将图像从图形的空间变换到频率空间，从而可利用傅里叶频谱特性进行图像处理，使运算变得简单。 2、 傅立叶（Fourier）变换的定义
对于二维信号，二维Fourier变换定义为：
??F(u,v)?逆变换：
??????f(x,y)e?j2?(ux?uy)dxdy
??f(x,y)?二维离散傅立叶变换为：
??????F(u,v)ej2?(ux?uy)dudv
ik?j2?(m?n)1N?1N?1NN F(m,n)???f(i,k)eNi?0k?0逆变换：
1f(i,k)?Nm?0n?0??F(m,n)eN?1N?1j2?(mik?n)NN
图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到。实际上，现在有实现傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。 3、离散傅里叶变换
计算机处理傅立叶变换用离散傅立叶变换，输入/输出数据均为离散，便于计算机处理。在使用离散傅立叶变换时，可以使用其快速算法FFT。
MATLAB提供的相关函数：FFT、FFT2、FFTn。
对二值图像进行傅里叶变换以后观察其频谱，我们会发现直流成分主要集中在右上角，分辨率比较低。所以必须通过fftshift函数提供补零和直流成分显示区域调整后得到调整，再进行观察。 4、离散余弦变换
使用傅立叶变换时存在一个问题，它的参数均为复数，数据描述上相当于实数的两倍，也就是说数据的计算量比较大，而离散余弦变换较好的解决了这个问题。离散余弦变换，根据实的偶函数的离散傅里叶变换只包含余弦项（实部）的特性，可将实图像构造成实的偶函数，再求它的离散傅里叶变换，从而构成所谓的离散余弦变换（DCT）。它是实的正交变换，变换核可分离且具有对称性，可以通过傅里叶变换的实部求得，所以具有快速算法。DCT变换具有良好的信息压缩能力，因而在图像的压缩编码等领域具有广泛的应用。
离散余弦的MATLAB实现一种是基于图像离散余弦变换的算法，这是通过MATLAB工具箱提供的dct2 函数和idct2函数实现的；另一种是DCT变换矩阵方法。变换矩阵方法非常适合做8*8 或16*16 的图像块的DCT 变换，工具箱提供了dctmtx 函数来计算变换矩阵。
离散余弦变换具有很强的“能量集中”特性，而且能量主要集中在左上角处，因此在实际图像应用中，能量不集中的地方可在余弦编码中忽略。于是我们可以通过对mask矩阵进行变换来实现，即将mask矩阵左上角置1，其余全部置0。然后通过离散余弦反变换后，图像得以恢复，这种处理方法叫做图像的压缩。 5、沃尔什变换
由于傅里叶变换和余弦变换的变换核由正弦、余弦函数组成，运算速度受影响。在特定问题中，往往引进不同的变换方法，以求运算简单且变换核矩阵产生方便。沃尔什变换中的变换矩阵简单（只有1和－1），占用存储空间少，产生容易，有快速算法，所以在需要实时处理大量数据的图像处理问题中，应用广泛。 6、图像的压缩
离散余弦变换是先将整体图像分成N×N像素块，然后对N×N像素块逐一进行离散余弦变换。由于大多数图像的高频分量较小，相应于图像高频分量的系数经常为零，加上人眼对高频成分的失真不太敏感，所以可以用更粗的量化。这样起到压缩图像的目的，使传输的数码率要远远小于实际图像的数码率，接收端通过反变换得到的恢复图像也不会有明显的改变。图像压缩主要任务是取不同的DCT系数，观察即满足不影响图像质量有能达到较大的压缩率。
对图像进行分块处理时，我们会用到函数blkproc( ) 。 调用格式：
B=blkproc(A,[m n],fun, parameter1, parameter2, ...) B=blkproc(A,[m n],[mborder nborder],fun,...) B=blkproc(A,'indexed',...) 参数说明：
[m n]：图像以m*n为分块单位，对图像进行处理（如8*8） Fun：应用此函数对分别对每个m*n分块的像素进行处理 parameter1, parameter2： 要传给fun函数的参数
mborder nborder：对每个m*n块，上下进行mborder个单位的扩充，左右进行nborder个单位的扩充，扩充的像素值为0，fun函数对整个扩充后的分块进行处理。
这里：fun='P1*x*P2'，fun的参数P1,P2，将T,T'传递给fun的参数，即：P1=T，P2=T'。
三、实验例题
1、有一矩形函数f(m,n),矩形区域为1，其余为0，对该矩形作傅立叶变换。 clear; N=100; f=zeros(50,50); f(15:35,23:28)=1; subplot(2,1,1) imshow(f) subplot(2,1,2) F=fft2(f);
imshow(log(abs(F)))
2、fftshift函数实现补零操作和改变图象显示象限 N=100; f=zeros(50,50); f(15:35,23:28)=1; subplot(2,1,1) imshow(f) F=fft2(f,256,256); F2=fftshift(F); subplot(2,1,2) imshow(log(abs(F2)));
3、对图像进行离散余弦变化，观察其余弦变换系数及余弦反变换后恢复图像。 ⑴ 将变换后小于10的元素忽略
I = imread('cameraman.tif') ; %装入原始图像 subplot(3,1,1); imshow(I);
J = dct2(I) ; %对I 进行二维DCT subplot(3,1,2); imshow(log(abs(J)),[]);
%图像大部分能量集中在左上角处 J (abs (J ) < 10) = 0 ;
%将DCT 变换值小于10的元素设为0 K= idct2 (J ) / 255 ; %对逆DCT 变换值归一化 subplot(3,1,3); imshow(K);
⑵ 将变换后小于255的元素忽略
I = imread('cameraman.tif') ; %装入原始图像 figure
subplot(1,3,1); imshow(I);
J = dct2(I) ; %对I 进行二维DCT subplot(1,3,2); imshow(log(abs(J)),[]);
%图像大部分能量集中在左上角处 J (abs (J ) < 255) = 0 ;
%将DCT 变换值小于255的元素设为0 K= idct2 (J ) / 255 ; %对逆DCT 变换值归一化 subplot(1,3,3); imshow(K);