熵气象学--第三章 熵与分布
第三章 熵与分布
第一章我们把统计物理中常用的分布函数的概念作了交待。继之又在第二章对气象现象中观测、统计出来的分布函数的形态作了较多的介绍。至此应当说我们用分布函数的概念把一批气象现象作了一种较统一的综合。它改变了提出问题的方式，也为让一个适当的理论出台来解释这些现象作好了前期准备工作。
从这一章开始我们要进一步引用熵的概念和原理，并且把它与分布问题联系起来。我们想通过事例说明熵原理也是制约大气运动的一个普遍原理。抓住这个强有力的理论会加深对气象现象的理解、丰富气象理论园地。 这一章的中心是交待熵的概念、算法以及它与分布问题的关系。而把熵原理及其在气象学中的应用放在以后各章。
§1 熵概念沿革
当今的科学被分成上千个学科，每个学科都有自己一套专用名词，而外行人对它知之甚少。可是在科学史上却有少数的专用名词，其知名度则远远超出孕育它出生的那个村庄。
霍顿(G．Holton)说“某些概念之所以重要是由于它们反复出现在许多描述和定律中，而且往往波及离最初表述很远的领域内”。
大家熟悉的“能量”这个概念就具有上述特征。现在我们要指出“熵”是又一个知名度日益提高并昇华到
68
熵气象学--第三章 熵与分布
哲学殿堂的概念。在某些人看来熵的科学地位应当高于莎士比亚在文学中的地位。
上世纪中叶，人们在发现热力学第一定律(能量守衡定律)之后不久又在研究热机效率的理论时发现在卡诺热机完成一个循环时，它不仅遵守能量守衡定律，而且工作物质吸收的热量Q与当时绝对温度T的比值之和(∑Q/T)为零(Q，T都不为零)。鉴于以上物理量有这一优点，克劳修斯(R．CIausius)就把可逆过程中工作物质吸收的热与温度T之比称为entropie，与德文的能量“energie”相接近。1923年胡刚复教授从其定义式出发为汉文另创了—个字“熵”来称呼它。日本则直用其英文的译音ェントロピ称之。
克劳修斯发现这样定义的物理量——熵还有一个重要性质，即其改变量的大小仅与研究对象的起始状态和终止状态有关，而与其经历的热力学路径无关；这也就是告诉人们熵是又一个新发现的状态函数。它意味着系统的状态一旦确定，其熵值(选用一定参考点后)就不变化了。
克劳修斯还进而分析了不可逆过程中的熵的变化，他得出参与不可逆过程的各部分的熵值变化之和总是大于刀∑Q/T。1865年他把热力学第二定律视为孤立系统中熵仅能加大或不变的“熵增加原理\。
1870年玻耳兹曼(L．Boltzmann)在分子运动论的基础上研究分子处于不同能级状态的个数Ω 的特性。他发现Ω的对数值应当与熵成正比例。这一发现就为熵提供了微观的物理图象。使我们加深了对熵的理解。熵是分子运动的无序程度（玻耳兹曼)和混乱程度(吉布斯，J．W．Gibbs)的提法逐步在科技界流行。
热力学熵的研究不仅推进了热机效率的研究，经过
69
熵气象学--第三章 熵与分布
亥姆霍兹(H．Helmhotz)、吉布斯、麦克斯韦等人的努力，熵与其他的热力学函数的关系，熵如何用于判知化学反应的进行方向与程度等方面都取得了重大进展。这样，熵已跨出热学领域而进入理论化学园地。
普朗克和爱因斯坦(A．Einstein)都利用熵原理作过出色的工作，它们扩大了熵的物理阵地，量子论的创始人之一--薜定谔(E．Schr6dinger)于1945年把熵又引入生物学。
20纪，信息论诞生了。其创始人申农(C．E．Shannon)把通讯过程中信息源的讯号的不确定性称为熵(把消除了多少不确定性称为信息)。据说这是接受了数学家冯·诺曼的建议。由于通讯技术的迅猛发展，信息论很快成为一股研究热潮。而熵概念的应用领域又获得了史无前例的扩展。信息论针对通讯需要定义两个等概率状态对应的熵为一比特(Bit)的计值办法不仅在通讯中十分方便，而且在后来兴起的电子计算机技术中也以它作为计量存储量的基本单位。
可以看到，申农的工作使“熵”闯入了距其出生地非常遥远的概率论、通讯、计算机领域。20世纪后半叶以电子计算机技术为代表的信息革命的兴起推进了与信息密切相关的熵概念的大扩展。今天，议论熵正逐步成为一种时尚。熵在今天早已不单独属于哪一个专门学科了。
50年代杰尼斯(E．T．Jaynes)用信息论中阐述的熵极大原理反回去论证由玻耳兹曼等人在上世纪导出的统计物理学中的正则分布。这项工作一则把统计物理中的重要成果纳入信息熵的体系中，也说明了脱离了“热”的熵的一般原理的强大力量。60年代最大熵谱的提出则是又一个应用实例。
70
熵气象学--第三章 熵与分布
气象学一直受惠于各种基础科学和技术科学。流体力学，数学，计算机、气象卫星的应用都是其例。我们认为熵概念与熵理论在气象学中的巧妙应用会把气象学再推进一步。
§2 热力学熵
17世纪蒸汽机发明后，如何提高它的效率成了重要问题；卡诺对此的研究采用了分析理想热力过程的独到思路。他给出的理想化的热机有一个高温热源向工作介质提供热量，介质把吸收的热量Q1的一部分变成了对外界作的功W，在把余下的热量Q2排向另一低温热汇以后工作介质又可再从高温处吸取热能。显然功W与热量Q1，的比值也就是热机效率η
η=W/Q1 （3．1)
卡诺的理想热机中的工作介质经过4个热力过程就又回到初始状态。这就构成了一个完整的热力学循环。4个过程中包括两个等温过程(吸热、放热)和两个绝热过程(压缩、膨胀)。而这些过程的理想化含有一个重要含义：它们可以沿着一个正方向进行，也可以反过来，即沿着相反的方向进行。这就是所谓“可逆过程”。从概念上讲只有无限缓慢的过程，才可能是可逆过程。
如以理想气体为工作介质，不难证明卡诺的理想热机的效率为
??T1?T2 (3.2) T1T1、T1、分别为高温热源和低温热汇的绝对温度。根据能量守衡定律，显然循环一次对外作的净功W应为
W=Q1-Q2 (3.3)，
71
熵气象学--第三章 熵与分布
联立以上各式有
Q1Q2 (3.4) ?T1T2如果定义放出的热应当取负值，则上式要改成
Q1Q2 (3.5) ?T1T2此式说明可逆的卡诺循环过程完成后，工作介质吞吐的热与当时绝对温度比值的合计值是不变化的 (功或热的合计值就是变的)。
克劳休斯基于Q/T的这一优良品质(在可逆的卡诺过程中)专门为它取了个名字，即现在称呼的熵(英文Entropy)。它一般是用符号S表示。
如果一定的工作介质在进行着卡诺循环，其一个微小的元过程中在绝对温度T了下吸收了热量δQ，则我们就把熵的变化记为
dS=δQ/T (3.6)
因而一个完整的卡诺过程的熵值不变，就表示为
?Q ?dS?? （3.7）
T如果不是完成一个卡诺循环，而仅是分析某一段可逆的热力学过程，那么工作介质(分析的物质系统)的熵值的变化应为[见图(3.1]
bb?QdS??a?aT?SB?SA （3.8）
这里的A，B分别表示两个热力学状态。而熵的变化是可逆过程中初、终热力学状态的熵值的差。这体现了它与过程的无关性，又显示了可以从可逆过程中吸收的
72