熵气象学--第三章 熵与分布
图3．2 夹角为α的扇区的物理场的 熵为圆区熵值的α/2π倍 (图中圆为等温线)
把以上思路用到物理场熵上对我们是有启示的。为了体现熵的广延性，我们可以把常数C写成与物理场的体积相当的量，这样两个物理场如果某物理量在其中都遵守同样的概率分布(如都是正态分布)，那么体积大的物理场的熵就依体积比值而有更大的熵值。换言之，物理场熵片的公式宜由(3.15)、(3.18)式改成 （离散和连续）
H??VC'?p(xi)logp(xi) (3.29)
H??VC'?f(x)logf(x)dxV这里代表物理场的体积(有时是面积或长度)。而C’则代表与体积无关的常数。
在气象学中的一些物理场，我们可以说成某参量(如温度)在空间中的分布，也可以看成某参量(如温度)在大
83
熵气象学--第三章 熵与分布
气物质中的分布。当我们把大气分成相等的N块时是分成体积相等的N块还是分成大气质量相等的N块?大家知道这两种分法并不等价(密度差别太大)。由于我们实质上还是研究大气物质，所以具体计算中我们都按质量来计算。即求得的分布函数是对大气质量而言的不是对体积而言的。
如果分布函数是对质量而言的，(3.29)式中的V应当改由物质系统的质量值m来代替。也可以说(3.29)式中的V泛指体积、面积、长度或质量。这由分布函数是在哪个对象上求得的去决定。
(3.29)式中的C’是供进一步调协、对比用的参数。如不涉及与其他类型的熵(如热力学熵)的对比，可以令C’=1。否则它取什么值，采用什么量纲都尚值得进一步研究决定。
物理场的熵是一个值，这决不是说物理场内每一个点有一个场熵值，它测度了整个场的状态的丰富(复杂或混乱) 程度。如场内某物理量的值在每个点都相同，则可以算出它的熵为零——状态最简单。
§7 “负 熵”
在近十年来的文献中不仅“熵”字出现的频率加大了，而且“负熵”一词也被广为使用。笔者认为不作具体计算，泛泛地说那里负熵增多等等，实际已经在很大程度上引起了学术思想的混乱。用模糊不清的概念去推论事物只能把问题弄得更混乱而不能推进科学进步。在这里我们就负熵问题谈几点看法。
7．1 概率分布计算中引出的负熵
对离散变量的任何概率分布都保证求得的熵值永为正 (或零)。从其公式(3.13)、(3.15)看，式中的概率p
84
熵气象学--第三章 熵与分布
介于0和1之间，这使其对数值必然≤0。把它们与公式前的负号相乘，恰好保证熵不会为负值。
但是对连续型的变量的熵公式，如(3.18)式，情况就不同了。概率密度f(x)的值不仅不会限于0到1之间，而且x的计量单位的大小都对f(x)的值有影响。此外x的因次还不能进入算式，否则消不掉。这些情况有时会导致求得的熵为负值。
今以某变量x遵守正态分布为例来说明上述问题。设x的标准差为2米(m)代入其求熵公式(3.25)可得熵值H?ln(2??e.2)?2.11。计算时我们仅能把x的单位m留在公式之外。现在求得的熵是个不大的正值。
如果x的标准差改以cm为单位则
H?ln(2??e.20)，即H=4.411即大了lnlO。反之，改以公里为单位，则H?ln[2??e.(0.002)]，即H=2.11+h10-3=4.80。现在的熵真的变成了负值!
不过这个例子表明熵究竟应当是多少,几乎失去了客观意义，而完全由计算者选用的单位自由调整。在数学家看来依(3.18)式求得的量就没有资格称为熵[7](有时称为微分熵)。它既然连熵的资格都不具备，我们也就不必对其出现负值而说出了负熵了o这也算我们回绝负熵问题的一个对策(尽管 它令人不甚满意)。
数学家对连续变量的熵的严正态度是有道理的。他们还会举出另一些连续变量的概率分布会导致熵变成无限大的例子。在我们给的算例中，如果变量标准差值的计量单位充分小，熵也会充分大。这显然也能得出类似
85
熵气象学--第三章 熵与分布
结论。
在70年代写就的文献[8]中笔者曾对此从“妥当选择计量单位”角度对此给了解释。现在看来它也还实用，从物理角度看也说的过去。
不过在数学家指出连续变量熵的天然缺陷和回顾两个世纪物理学思潮的进步之后，又会使我们从这里看到另一层近乎揭开的物理世界的秘密。这就是众多的物理量都应当是量子化(离散化)的。
如果研究的物理量是量子化的，那么在物理上小于其基本量子的计量单位就不合理。而这个基本量子本身的绝对性保证了计算熵时如果以它为单位，得到的熵值也有绝对意义。
19世纪初提出了科学的原子学说，它说明质量是离散的、量子化的。电子的发现说明电量是不连续的。而普朗克和爱因斯坦则证明能量也是量子化的。物理世界中量子(离散)化观点的节节胜利使我们易于接受客观物质的状态是不连续变化的、量子化的观点。而这种观点就要求我们像曾经承认原子、电子，光子那样承认其他物理参数也有最小计量单位(参见第七章第六节)。
从原则意义上讲熵的计量单位不能无限地变小，这在物理上是重要问题。但数学计算中并不妨碍我们对连续函数和微积分技术的应用。
在数学中积分常被看成求和计算的一种极限情况。下面对熵也讨论一下从求和到取极限的过程，这时变量必然要存在一个最小单位的问题更清楚了。
依(3．16)式我们把离散场合下的熵写成(C=1)
H???p(xi)logp(xi)
如果上述求和过程中各x值相隔的充分小，则p(x)
86
熵气象学--第三章 熵与分布
就可以用一个连续变化的概率密度分布f(x)与x的变化量Δx相乘来代替。这时上式变成
H???f(x)?xln{f(x)?x] 上式又可写成
H???[f(x)lnf(x)]?x??[f(x)ln?x]?x 因为
∑f(x)Δx=1 (归一性) 故 H???[f(x)lnf(x)]?x?ln?x
如果令Δx→0，则上式自动导致熵H为无穷大。因而Δx不允许趋于零。如果Δx=1，则lnΔx=0，而求和的x值的上下限 如果比Δx大了上100倍，则上式右侧第一项即可以较高的精度(估计误差小于1‰)用积分代替。
这时 H???f(x)lnf(x)dx 这就变成了连续型的熵公式了。
以上分析表明以变量x的最小量子为单位意味着对熵公式从离散向连续过渡时Δx不能像其他物理量那样任意地趋于无穷小，它仅能等于单位值1。数学上的这种限定几乎使我们遇到了当年普朗克处理黑体辐射问题必须引入能量子完全类似的问题。
(3.28)式给出了成线性关系的两个连续变量的熵的关系，。我们可以利用这个式子来计算“连续变量”的绝对熵。这里把连续变量加了“”号是想说明从绝对意义上讲，这个变量 并不是数学含义下的连续变量。它在物理上存在着一个最小量子 ε>0。该变量根本(物理
87