十、（20分）用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，技术指标为： ?s?0.1?， ?p?0.3?，A?10, ??0.4843
十一、（7分）信号y?n?包含一个原始信号x?n?和两个回波信号：
y?n??x?n??0.5x?n?nd??0.25x?n?2nd?
求一个能从y?n?恢复x?n?的可实现的滤波器． 1、（8分）求序列
(a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}的共扼对称、共扼反对称部分。 (b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}周期共扼对称、周期共扼反对称部分。
*{h[?n]}?{?7?j2,3?j,5?j6,4?j3,?2?j5} 解：(a)
Hcs[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?4.5?j1.5,3.5?j2,?5,3.5?j2,?4.5?j1.5}
Hca[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?2.5?j3.5,0.5?j,?j,?0.5?j,?2.5?j3.5}
*h(b)[N?n]?{?2?j5,?7?j2,3?j,5?j6,?4?j3} Hpcs[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{?2,?1.5?j2.5,?4?j2.5,?4?j2.5,?1.5?j2.5} Hpca[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{j5,?5.5?j0.5,?1?j3.5,?1?j3.5,?5.5?j0.5} 2、（8分）系统的输入输出关系为
y[n]?a?nx[n]?x[n?1],a?0
判定该系统是否为线性系统、因果系统、稳定系统和时移不变系统，并说明理由。
解：非线性、因果、不稳定、时移变化。 3、（8分）求下列Z变换的反变换
z?z?2?H?z???z?0.2??z?0.6?，z?0.2
解：
h?n???2.75?0.2?u??n?1??1.75??0.6?u??n?1?
4、（3分）一个FIR滤波器的系统函数为
nnz?z?2?1?2z?12.751.75H?z??????z?0.2??z?0.6?1?0.2z?11?0.6z?11?0.2z?11?0.6z?1
????H?z??1?0.3z?1?2.5z?2?0.8z?3?1.5z?4
求另一个n?4时h?n??0，且具有相同幅度响应的因果FIR滤波器。
5、（8分）已知单位脉冲响应长度为9的类型3实系数线性相位FIR滤波器具有零点：z1?4，z2?1?j。
（c） （a） 求其他零点的位置 （d） （b） 求滤波器的传输函数
?4?3?2?1??Hz?z?0.3z?2.5z?0.8z?1.5 解：
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解：（a）z?4，z??1
H?z??1?z?11?z?11??1?j?z?11??1?j?z?1z?111z??1?j?z??1?j?4，z?1?j，z?1?j，22，，z?1，
????????11?1??1?1???1??1??1??1?j?z??1??1?j?z?1?4z?1?z???2??4? （b）?2 6．（8分）已知x?n?（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X?k?
??（1）用X?k?表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换。 （2）如果x[n]??（0?n?N?1），求其N点DFT。
3k?j6?k/NX[k] 解：(1)V[k]?WNX[k]?enknkX[k]??x[n]WN???nWN???Wn?0n?0n?0N?1N?1N?1k1??WN?k1??WNn(2)
?knN???N
7、（10分）确定以下数字滤波器的传输函数
H(z)?Y(z)X(z)
解：
?V?X?2W??1?W?azV?bU??2U?zV?XU?z?2?X?2W??X?1?z?2X?2z?2W??Y?z?2V?W?1?2?1?2? 1?2az?2bzW?az?b?bzX
az?1?b?bz?2b?az?1??1?b?z?2?2?2?2Y?z?X?2W??W?zX??1?2z?X?X1?2az?1?2bz?21?2az?1?2bz?2
8、（10分）分别用直接型和并联型结构实现如下滤波器
??????G?z??18z318z3?3z2?4z?1?0.361?0.5z?1?0.241?0.3333z?1?0.4
?1?0.3333z??12
9. （10分）低通滤波器的技术指标为：?p?0.2?，?s?0.3?，?p??s?0.001， 请在附录中选择合适的窗函数，用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤
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波器。
解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log(0.001)=-60dB，因此只能采用布莱克曼窗。
????s??p?0.1?
5.56?5.56???56??0.1?
2?n4?n??0.42?0.5cos()?0.08cos()?M?n?Mw[n]??2M?12M?1?0其它? ?c?(?s??p)/2?0.25?， M?ht[n]?hd[n?M]w[n?M]?sin(?c(n?M))w[n?M]?(n?M) ，0?n?2M
10．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，技术指标为： ?s?0.1?， ?p?0.3?，A?10, ??0.4843
解：
0.0?H(ej?)?0.1 0???0.1?
0.3?????。
我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z域进行低通到高通的转换。另一种方法是在双线性变换前就在s平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法，更容易计算。
我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为?s?0.1?，通带截止频率为
0.9?H(ej?)?1.011??2先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2, 且
???tan()2
有：
??s?tan(s)?tan(0.05?)?0.15842 ?p?p?tan()?tan(0.15?)?0.50952
?将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们用变换s?1/s有
??1/??1/0.5095?1.9627?pp ??1/??1/0.1584?6.3138?ss
所以模拟滤波器的选择因子(transition ratio or electivity parameter)为
?p?0.3?，且A=1/0.1=10,
?0.9???199= 0.4843
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??pk??0.3109??s
判别因子(discrimination parameter)为：
k1?
因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为：
log10(1/k1)N??2.59log(1/k)
我们取N=3, 则 ????p2Np2??()????c?0.7853 ?c?2N???2ss?()?A?1??c??2.1509 ?c????ps???c??2.1509， 如取?c?2.5，则所求得的低通巴特沃兹滤波器 我们可取 0.7853为：
1?)?Ha(s?)3?2(s?)2?2(s?)?1?/??/??/?(sccc
11?)?Ha(s??/2.5)3?2(s?/2.5)2?2(s?/2.5)?10.064s?3?0.32s?2?0.8s??1 (s
?将低通滤波器转换为高通滤波器： 用低通到高通的转换关系s?1/ss3Ha(s)?0.064?0.32s?0.8s2?s3
?0.04867A?1
2?1?z?1s?1?z?1最后采用双线性变换
H(z)?Ha(s)s?1?z?1
1?z?11?z?13()?11?z??11?z1?z?121?z?130.064?0.32?0.8()?()?1?1?11?z1?z1?z?
?0.456z?3(1?z?1)3?2.072z?2?3.288z?1?2.184
11.（7分）信号y?n?包含一个原始信号x?n?和两个回波信号：
y?n??x?n??0.5x?n?nd??0.25x?n?2nd?
求一个能从y?n?恢复x?n?的稳定的滤波器．
解：因为X(z) 与Y(z)的关系如下：
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?nd?2ndY(z)?(1?0.5z?0.25z)X(z)
以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为：
1G(z)?1?0.5z?nd?0.25z?2nd
1F(z)?nd1?0.5z?1?0.25z?2 注意到：G(z)?F(z)，且
F(z)的极点在：
z??0.25(1?j3)
?nd它在单位圆内半径为r=0.5处，所以G(z)的极点在单位圆内r'?(0.5)处，所以G(z)是可实现的。
1． 1． (8分) 确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部分：
(a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}
(b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}
2. (8分) 下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位不变还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。
y[n]?x[n]?x[?n]
3. (6分) 确定下列序列的平均功率和能量
?5?x[n]???u[?n]?3?
4．(6分)已知x[n]（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X[k]
（1） （1） 用X[k]表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换 （2） （2） 如果x[n]??（0?n?N?1），求其N点DFT。
Y(z)H(z)?X(z) 5．. (8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数
X(z) k2 -k1 Z-1 -k2 Z-1 a2 a 1
Y(z)
6．(10分)以以下形式实现传输函数为
nnH(z)?(1?0.7z?1)5?1?3.5z?1?4.9z?2?3.43z?3?1.2005z?4?0.16807z?5
的FIR系统结构。
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