(1) (1) 直接形式
(2) 一个一阶系统，两个二阶系统的级联。 7. (10分)低通滤波器的技术指标为：
0???0.3?
H(ej?)?0.01 0.35?????
用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。
8．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，通带内等波纹，且
0???0.1? 0.9?H(ej?)?1.0 0.3?????。
9.（10分））信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号： y[n]=x[n]+0.5x[n-nd]+0.25x[n-2nd]
求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器．
z?1?a*H(z)?1?az?1， 这里a?1 10 (14分))一个线性移不变系统的系统函数为
(a) 求实现这个系统的差分方程
(b) 证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统）
(c) H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，求单位采样响应 g(n)。
2． 1． (8分) 确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部分：
(a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}
0.0?H(ej?)?0.10.99?H(ej?)?1.01(b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}
*解：(a) {h[?n]}?{?7?j2,3?j,5?j6,4?j3,?2?j5}
Hcs[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?4.5?j1.5,3.5?j2,?5,3.5?j2,?4.5?j1.5}
Hca[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?2.5?j3.5,0.5?j,?j,?0.5?j,?2.5?j3.5}
*(b)h[N?n]?{?2?j5,?7?j2,3?j,5?j6,?4?j3} Hpcs[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{?2,?1.5?j2.5,?4?j2.5,?4?j2.5,?1.5?j2.5} Hpca[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{j5,?5.5?j0.5,?1?j3.5,?1?j3.5,?5.5?j0.5}
2. (8分) 下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位不变还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。
y[n]?x[n]?x[?n]
解： (a) 令：对应输入x1[n]的输出为y1[n]，对应输入x2[n]的输出为y2[n],对应输入x[n]=x1[n]+x2[n]的输出为y[n]，则有
y1[n]?x1[n]?x1[?n] y2[n]?x2[n]?x2[?n]
y[n]?x[n]?x[?n]?(x1[n]?x2[n])?(x1[?n]?x2[?n])
?(x1[n]?x1[?n])?(x2[n]?x2[?n])?y1[n]?y2[n] 所以此系统为线性系统。
36
(b)
(b) 设对应x[n]的输出为y[n]，对应输入x1[n]＝x[n-n0]的输出为y1[n],则
y1[n]?x1[n]?x1[?n]?x[n?n0]?x[?(n?n0)]?x[n?n0]?x[?n?n0] y[n]?x[n]?x[?n] y[n?n0]?x[n?n0]?x[?n?n0] y[n?n0]?y1[n]
此系统为移位变化系统。 (c )假设x[n]?B，则有
y[n]?x[n]?x[?n]?x[n]?x[?n]?2B 所以此系统为BIBO稳定系统。 (d)此系统为非因果系统。
3. (6分) 确定下列序列的平均功率和能量
能量为：
n???2n?0?5?x[n]???u[?n]?3?
n52nn???5?2nn???32n1?x??x[n]??()??()??()??25/161?9/25n???n???3n?03n?05
功率为：
1n??k1n?052n1n??k5?2n2px?limx[n]?lim()?lim()???k??2k?1k??2k?1k??2k?13n??kn??kn?03
k?11n??k9n11??9/25?px?lim()?lim?0?k??2k?1k??2k?1251?9/25n?0
4．(6分)已知x[n]（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X[k]
（3） （1） 用X[k]表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换
nx[n]??（4） （2） 如果（0?n?N?1），求其N点DFT。 3k?j6?k/NV[k]?WX[k]?eX[k] N解：(1)
nknkX[k]??x[n]WN???nWN???Wn?0n?0n?0N?1N?1N?1(2)
?knN?k1??WN?k1??WN??N
5．. (8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数
X(z) k2 -k1 Z-1 a1 a2 Y(z) -k2 V[z] H(z)?Y(z)X(z)
Z-1
37
?1?1?1解： X[z]?k1z(?k2V(z)?zV(z))?k2zV(z)?V(z)
1V(z)?X(z)?1?21?(k?kk)z?kz2121 则 ?1?1?1又(z?k2)V(z)?1z??2zV(z)?Y(z) ?1?2则有Y[z]?[(?2?k2?1)z??1z]V(z)
(?2?k2?1)z?1??1z?2?X{z}1?(k2?k1k2)z?1?k1z?2
6．(10分)以以下形式实现传输函数为
H(z)?(1?0.7z?1)5?1?3.5z?1?4.9z?2?3.43z?3?1.2005z?4?0.16807z?5
的FIR系统结构。 (2) (1) 直接形式
(2) 一个一阶系统，两个二阶系统的级联。
x[n]
z-1 z-1 z-1 z-1 z-1
解：(1) 4.9 -3.43 1.2005 -3.5 1 -0.16807
y[n]
?15?1?1?2?1?2 (2) H(z)?(1?0.7z)?(1?0.7z)(1?1.4z?0.49z)(1?1.4z?0.49z)
y[n]
x[n] z-1 z-1 z-1 -1.4 -1.4 -0.7 z-1 z-1 0.49 0.49 7. (10分)低通滤波器的技术指标为： 0???0.3?
H(ej?)?0.01 0.35?????
用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。
解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log(0.01)=-40dB，我们可以采用汉宁窗，虽然也可以采用汉明窗或布莱克曼窗，但是阻带衰减增大的同时，过渡带的宽度也会增加，技术指标要求过渡带的宽度为????s??p?0.05?。由于 M??= 3.11?,
38
0.99?H(ej?)?1.01
2?n??0.5?0.5cos()?M?n?Mw[n]??3.11?2M?1M??52?0其它?0.05?所以：， 且：
?，所以滤波器为： 一个理想低通滤波器的截止频率为?c?(?s??p)/2?0.325sin(?c(n?M))w[n?M]?(n?M) ，0?n?2M
8．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，通带内等波纹，且
ht[n]?hd[n?M]w[n?M]? 0???0.1? 0.9?H(ej?)?1.0 0.3?????。
解： 我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z域进行低通到高通的转换。另一种方法是在双线性变换前就在s平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法，更容易计算。
我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为?c?0.1?，通带截止频率为
0.0?H(ej?)?0.111??2先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2, 且
???tan()2
有：
??s?tan(s)?tan(0.05?)?0.15842 ?p?p?tan()?tan(0.15?)?0.50952
?将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们用变换s?1/s有
??1/??1/0.5095?1.9627?pp ??1/??1/0.1584?6.3138?ss
所以模拟滤波器的选择因子(transition ratio or electivity parameter)为
??pk??0.3109??s
判别因子(discrimination parameter)为：
?k1??0.048672A?1
因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为：
log10(1/k1)N??2.59log(1/k)
我们取N=3, 则
39
?p?0.3?，且A=1/0.1=10,
?0.9???199= 0.4843
?2N???2ss?()?A?1??c??2.1509 ?c????ps???c??2.1509， 如取?c?2.5，则所求得的低通巴特沃兹滤波器 我们可取 0.7853为：
1?)?Ha(s?)3?2(s?)2?2(s?)?1?/??/??/?(sccc
11?)?Ha(s??/2.5)3?2(s?/2.5)2?2(s?/2.5)?10.064s?3?0.32s?2?0.8s??1 (s
?将低通滤波器转换为高通滤波器： 用低通到高通的转换关系s?1/ss3Ha(s)?0.064?0.32s?0.8s2?s3
????p2Np2?()????c??0.7853 ?c1?z?1s?1?z?1最后采用双线性变换
H(z)?Ha(s)s?1?z?1
1?z?11?z?13()?11?z?1?z?11?z?121?z?130.064?0.32?0.8()?()1?z?11?z?11?z?1?
9.（10分））信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号： y[n]=x[n]+0.5x[n-nd]+0.25x[n-2nd]
求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器．
解：因为X(z) 与Y(z)的关系如下：
?nd?2ndY(z)?(1?0.5z?0.25z)X(z)
以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为：
1G(z)?1?0.5z?nd?0.25z?2nd
1F(z)?nd1?0.5z?1?0.25z?2 注意到：G(z)?F(z)，且
F(z)的极点在：
?0.456z?3(1?z?1)3?2.072z?2?3.288z?1?2.184
z??0.25(1?j3)
?nd它在单位圆内半径为r=0.5处，所以G(z)的极点在单位圆内r'?(0.5)处，所以G(z)是可实现的。
40