所以 y?f?11，
?u??1?u因此 f?1?x?1??11??,x?0.
1?(x?1)x三、函数的几种特性
1. 函数的有界性
设函数f?x?在数集D上有定义，若存在某个常数L，使得对任一x?D有
f?x??L（或f?x??L），
则称函数f?x?在D上有上界（或有下界），常数L称为f?x?在D上的一个上界（或下界）；否则，称f?x?在D上无上界（或无下界）.
若函数f?x?在D上既有上界又有下界，则称f?x?在D上有界；否则，称f?x?在D上无
（f）界.若f?x?在其定义域D上有界，则称f?x?为有界函数.容易看出，函数f?x?在D上有界的充要条件是：存在常数M>0，使得对任一x?D，都有
f?x??M.
???内是有界的，因为对任一x????，???都有例如，函数y?sinx在其定义域???，sinx?1，函数y?1在0,1内无上界，但有下界.
??x从几何上看，有界函数的图像界于直线y??M之间.
2. 函数的单调性
设函数f?x?在数集D上有定义，若对D中的任意两数x1,x2(x1?x2)，恒有
f?x1??f?x2? [或f?x1??f?x2?]，
则称函数f?x?在D上是单调增加（或单调减少）的.若上述不等式中的不等号为严格不等号，则称为严格单调增加（或严格单调减少）的.在定义域上单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数.如图1-7所示.
图1-7
???内是严格单调增加的；函数f?x??cosx在例如，函数f?x??x3在其定义域???，（0,π）内是严格单调减少的.
从几何上看，若y?f?x?是严格单调函数，则任意一条平行于x轴的直线与它的图像最多
交于一点，因此y?f?x?有反函数.
3.函数的奇偶性
设函数f?x?的定义域D?f?关于原点对称（即若x?D?f?，则必有?x?D?f?.若对任意的x?D?f?，都有
f??x???f?x?[或f??x??f?x?]，
则称f?x?是D?f?上的奇函数（或偶函数）.
奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于y轴，如图1－11所示.
图1-8
例7 讨论函数f?x??lnx?1?x2的奇偶性. ???是对称区间，因为 解 函数f?x?的定义域???，
???1f??x??ln?x?1?x2?ln??2?x?1?x????lnx?1?x2??f?x?
???上的奇函数. 所以，f?x?是???，????? ?4.函数的周期性
设函数f?x?的定义域为D?f?，若存在一个不为零的常数T，使得对任意x?D?f?，有
（x?T）?D（f）?f（x），且f（x?T），则称f?x?为周期函数，其中使上式成立的常数T称为
f?x?的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数TT（如
果存在的话）.
?sinx的周期为2π；f?x??tanx的周期是π. 例如，函数f（x）并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷（Dirichlet）函数
x为有理数，?1, D(x)??
0, x为无理数.?任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期.
四、函数应用举例
下面通过几个具体的问题，说明如何建立函数关系式.
例8 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费y（元）与重量x（千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像.
解 当0?x?50时，y?0.15x；当x?50时，y?0.15?50?0.25(x?50). 所以函数关系式为：
?0.15x, 0?x?50;y??
7.5?0.25(x?50),x?50.?这是一个分段函数，其图像如图1－9所示.
图1-9
例9某人每天上午到培训基地A学习，下午到超市B工作，晚饭后再到酒店C服务，早、晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或工作的地方吃.A，B，C位于一条平直的马路一侧，且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km，酒店与超市相距5km，问该打工者在这条马路的A与
，才能使每天往返的路程最短. B之间何处找一宿舍（设随处可找到）
解 如图1-10所示，设所找宿舍D距基地A为x（km），用f（x）表示每天往返的路程函数.
图1-10
当D位于A与C之间，即0?x?3时，易知
f?x??x?8?（8?x）?2?3?x??22?2x， 当D位于C与B之间，即3?x?8时，则
f?x??x?8?(8?x)?2(x?3)?10?2x. 所以
?2?2x,0?x?3;f(x)??
10?2x,3?x?8.?这是一个分段函数，如图1-11所示，在??0,3??上，f?x?是单调减少，在??3,8??上，f?x?是
单调增加.从图像可知，在x?3处，函数值最小.这说明，打工者在酒店C处找宿舍，每天走的路程最短.
图1-11
五、基本初等函数
初等数学里已详细介绍了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以上我们统称为基本初等函数.它们是研究各种函数的基础.为了读者学习的方便，下面我们再对这几类函数作一简单介绍.
1.幂函数 函数
y?xμ (μ是常数)
称为幂函数.
???内总是有定义的. 幂函数y?xμ的定义域随μ的不同而异，但无论μ为何值，函数在?0，???上是单调增加的，其图像过点当μ?0时，y?xμ在?及点?1,1?，图1-12列出（0,0）?0，1了μ?，μ?1，μ?2时幂函数在第一象限的图像.
21y?xμ在?0，???上是单调减少的，当μ?0时，其图像通过点?1,1?，图1-13列出了μ??，2μ??1，μ??2时幂函数在第一象限的图像.
图1-12图1-13
2.指数函数 函数
y?ax(a是常数且a?0，a?1)
称为指数函数.
???，图像通过点?0,1?，且总在x轴上方. 指数函数y?ax的定义域是???，当时a?1，y?ax是单调增加的；当0?a?1时，y?ax是单调减少的，如图1-14所示.
以常数e?2.71828182?为底的指数函数
y?ex
是科技中常用的指数函数.
图1-14
3. 对数函数
指数函数y?ax的反函数，记作
y?logax（a是常数且a?0,a?1)，
称为对数函数.
???，图像过点?1,0?.当a?1时，y?logax单调增加；对数函数y?logax的定义域为?0，当0?a?1时，y?logax单调减少，如图1-15所示.
科学技术中常用以e为底的对数函数
y?logex，
图1-15
它被称为自然对数函数，简记作
y?lnx.
另外以10为底的对数函数
y?log10x，
也是常用的对数函数，简记作y?lgx.
4.三角函数 常用的三角函数有