上b?a表示点a与点b之间的距离，b?a越小，则a与b就越接近，就数列(1-2-1)来说，因为
xn?1??11， ?nn我们知道，当n越来越大时，1越来越小，从而xn越来越接近1.因为只要n足够大，xn?1?1nn就可以小于任意给定的正数，如现在给出一个很小的正数1，只要n?100即可得
1001，
xn?1?n?101,102,?
1001，则从10001项起，都有下面不等式
如果给定
100001
xn?1?10000n?1成立.这就是数列xn? (n?1,2,?)，当n??时无限接近于1的实质. n一般地，对数列?xn?有以下定义.
定义2 设?xn?为一数列，若存在常数a对任意给定的正数ε(无论多么小)，总存在正整数
N，当n?N时，有不等式
xn?a?ε
即xn?U(a,ε)，则称数列?xn?收敛，a称为数列?xn?当n→∞时的极限，记为
limxn?a或xn?a?n????.
n??若数列?xn?不收敛，则称该数列发散. 定义中的正整数N与ε有关，一般说来，N将随ε减小而增大，这样的N也不是唯一的.显然，如果已经证明了符合要求的N存在，则比这个N大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N均表示正整数.此外，由邻域的定义可知，xn?U?a，ε?等价于xn?a?ε.
我们给“数列?xn?的极限为a”一个几何解释：
将常数a及数列x1,x2,x3,?,xn,?在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的
ε邻域，即开区间(a?ε,a?ε)，如图1-29所示
?
图1-29
因两个不等式|xn?a|?ε， a?ε?xn?a?ε
等价，所以当n?N时，所有的点xn都落在开区间(a?ε,a?ε)内，而只有有限个点（至多只有
N个点）在这区间以外.
为了以后叙述的方便，我们这里介绍几个符号，符号“?”表示“对于任意的”、“对于所有的”或“对于每一个”；符号“?”表示“存在”；符号“max?X?”表示数集X中的最大数；
符号“min?X?”表示数集X中的最小数.数列极限limxn?a的定义可表达为：
n??limxn?a??ε?0，?正整数N，当n?N时，有xn?a?ε.
n??例1 证明 lim1?. 0n??2n111证?ε?0(不防设ε?1)，要使1（ln）/ln2. ?0?n?ε，只要2n?，即n?nεε22??1?1因此，?ε?0，取N????ln?/ln2?，则当n?N时，有n?0?ε.由极限定义可知
2??ε??1limn?0. n??21nπ例2 证明 limcos?. 0n??n41证 由于1cosnπ?0?1cosnπ?1，故?ε?0，要使1cosnπ?0?ε，只要?ε，
n4n4nn4n1即n?. ε1?，则当n?N时，有1nπ因此，?ε?0，取N??cos?0?ε.由极限定义可知 ?n4?ε??1nπlimcos?0. n??n4用极限的定义来求极限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，将逐步介绍其他求极限的方法.
二、数列极限的性质
定理1（惟一性） 若数列收敛，则其极限惟一. 证 设数列?xn?收敛，反设极限不惟一：即limxn?a，limxn?b，且a?b，不妨设a?b，
n??n??b?a，则?N＞0，当n?N时，b?a，即
xn?a<11223a?ba?b，
（1-2-6） ＜xn＜22?N2?0，当n?N2时，xn?b 2a?b3b?a，(1-2-7) ＜xn＜22取N?max?N1,N2?，则当n?N时，(1-3-6)，(1-3-7)两式应同时成立，显然矛盾.该矛盾证明 由极限定义，取ε?了收敛数列?xn?的极限必惟一. 定义3 设有数列?xn?，若存在正数M，使对一切n?1,2,?，有xn?M，则称数列?xn?是有界的，否则称它是无界的. 对于数列?xn?，若存在常数M，使对n?1，2，?，有xn?M，则称数列?xn?有上界；若存在常数M，使对n?1,2,?，有xn?M，则称数列?xn?有下界. 显然，数列?xn?有界的充要条件是?xn?既有上界又有下界. 例3 数列 n??122n?n有界；数列有下界而无上界；数列有上界而无下界；数列 n2?1????（?1）n?1?既无上界又无下界. ?定理2（有界性） 若数列?xn?收敛，则数列?xn?有界. 证 设limxn?a，由极限定义，?ε?0，且ε?1，?N?0，当n?N时，|xn?a|?ε?1， n??从而xn<1?a. 取M?max1?a,x1,x2,?,xN，则有xn?M，对一切n?1,2,3,?，成立，即?xn?有界. 定理2 的逆命题不成立，例如数列(?1)n有界，但它不收敛. xn?a，a?0（或a?0）定理3（保号性） 若lim，则?N?0，当n?N时，xn?0（或 n??????xn?0）. 证 由极限定义 ，对ε?aaa3?0，?N?0，当n?N时，xn?a?，即?xn?a，故当2222an?N时，xn??0. 2类似可证a?0的情形. 推论设有数列?xn?，?N?0 ，当n?N时，xn?0 (或xn?0)，若limxn?a，则必有a?0 n??(或a?0). 在推论中，我们只能推出a?0 (或a?0)，而不能由xn?0 (或xn?0)推出其极限(若存在)也大于0(或小于0).例如xn?11?0，但limxn?lim?0. n??n??nn下面我们给出数列的子列的概念. 定义4 在数列?xn?中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列， 在选出的子列中，记第1项为xn1，第2项为xn2，?，第k项为xnk，?，则数列?xn?的 称它为?xn?的一个子列.? 子列可记为xnk.k表示xnk在子列xnk中是第k项，nk表示xnk在原数列?xn?中是第nk项.显然，对每一个k，有nk?k；对任意正整数h，k，如果h?k，则nh?nk；若nh?nk，则h?k? 由于在子列xnk中的下标是k而不是nk，因此xnk收敛于a的定义是：?ε?0，?K?0，当k?K时，有xnk?a?ε.这时，记为limxnk?a .? k???????????定理4limxn?a的充要条件是：?xn?的任何子列{xnk}都收敛，且都以a为极限.? k??证 先证充分性.由于?xn?本身也可看成是它的一个子列，故由条件得证.? 下面证明必要性.?由limxn?a，?ε?0，?N?0，当n?N时，有 k??xn?a<ε.? 今取K?N，则当k?K时，有nk?nK?nN?N，于是 xnk?a?ε.? 故有 k??limxnk?a.? 定理4用来判别数列?xn?发散有时是很方便的.如果在数列?xn?中有一个子列发散，或者有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言?xn?是发散的.? 例4 判别数列xn?sinnπ,n?N*的收敛性.? 8解 在?xn?中选取两个子列： ??kπ,k?N?，即?sin8π,sin16π,???sin8kπ,????； ?sin88888*???16k?4?π?16k?4?π,?????20π?*?sin,???sinsin,k?N，即??. ??888??????显然，第一个子列收敛于0，而第二个子列收敛于1，因此原数列sinnπ发散. 8??三、收敛准则 定义5 数列?xn?的项若满足x1?x2???xn?xn?1??，则称数列?xn?为单调增加数列；若满足x1?x2???xn?xn?1??，则称数列?xn?为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成立时，则分别称?xn?是严格单调增加和严格单调减少数列. 收敛准则 单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限. 该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明. n????1??例5 证明数列??1???收敛. n??????n????1??证根据收敛准则，只需证明??1???单调增加且有上界（或单调减少且有下界）. n??????由二项式定理，我们知道 11121n1 xn?(1?)n?1?Cn?Cn???Cn2nnnnn11112112n?1， ?1?1?(1?)?(1?)(1?)???(1?)(1?)?(1?)2!n3!nnn!nnn1n?111112n?1 xn?1?(1?)?1?Cn?Cn???Cn?1?1?12n?1n?1(n?1)(n?1)n?111112?1?1?(1?)?(1?)(1?)?? 2!n?13!n?1n?1112n?1 ?(1?)(1?)???(1?)n!n?1n?1n?1112n， ?(1?)(1?)???(1?)(n?1)!n?1n?1n?1逐项比较xn与xn?1的每一项，有 xn?xn?1，n?1,2,?. 这说明数列{xn}单调增加，又 xn?1?1?111???? 2!3!n!111?1?1??2???n 2221?1n2?3?1?3. ?1?2n?11?12nn????????1??1??即数列??1???有界，由收敛准则可知??1???收敛. n??n??????????n????1??我们将??1???的极限记为e，即 n??????1lim?1?????e. n???n?n第三节 函数的极限 函数概念反映了客观事物相互依赖的关系.它是从数量方面来描述这种关系，但在某些实际 问题中，仅仅知道函数关系是不够的，还必须考虑在自变量按照某种方式变化时，相应的函数值的变化趋势，即所谓的函数极限，才能使问题得到解决.正如我们对数列极限的定义，数列?xn?可看做自变量为正整数n的函数： xn?f?n?， n?N*， 所以，数列的极限可视为函数极限的特殊类型.下面介绍函数极限的一般类型. 一、x??时函数的极限 当自变量x的绝对值无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的只是自变量的变化可以是连续的. 定义1 设函数f?x?在区间[a,??)上有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式x?X时，对应的函数值f?x?都满足不等式 f?x??A?ε， 那么，称函数f?x?当x趋于+∞时极限存在并以A为极限，记作 limf(x)?A 或f(x)?A(x???). x?? 在定义中正数X的作用与数列极限定义中的正整数N类似，说明x足够大的程度，所不同的是，这里考虑的是比X大的所有实数x，而不仅仅是自然数n，因此，当x???时，函数f?x?以A为极限意味着：A的任何邻域必含有f在某个区间??X,???的所有函数值. 定义1的几何意义如图1-30所示，作直线y?A?ε和y?A?ε，则总有一个正数X存在，使得当x?X时，函数y?f?x?图形位于这两条直线之间.