定理2表示，如果函数f(u)和φ(x)满足该定理的条件，那么作代换u?φ(x)可把求
x?x0limf(φ(x))化为求limf(u)，这里u0?limφ(x).
u?u0x?x0第六节 极限存在准则与两个重要极限
有些函数的极限不能（或者难以）直接应用极限运算法则求得，往往需要先判定极限存在，然后再用其他方法求得.这种判定极限存在的法则通常称为极限存在准则.在第二节中我们介绍了数列极限的收敛准则.下面介绍几个常用的判定函数极限存在的定理.
一、夹逼定理
定理1（夹逼定理）设函数f?x?，F1?x?和F2?x?在点x0的某去心邻域内有定义，并且满足
（1）F1?x??f?x??F2?x?； （2）limF1(x)?limF2(x)?a
x?x0x?x0则有limf(x)?a.
x?x0证 由已知条件， ?δ1?0，当x?U?x0,δ1?时，
F1?x??f?x??F2?x?.
?又由limF1?x??limF2?x??a 知 ?ε?0，
x?x0x?x0?δ2?0，当x?U?x0,δ2?时，F1?x??a?ε ， ?δ3?0，当x?U?x0,δ3?时，F2?x??a<ε. 取??min ??1,?2,?3?，则当x?U?x0,δ?时，得
a?ε?F1(x) ?f?x? ?F2?x??a?ε.
???由极限定义可知limf(x)?a.
x?x0夹逼定理虽然只对x?x0的情形作了叙述和证明，但是将x?x0换成其他的极限过程，定理仍成立，证明亦相仿.例如，若?X?0使x?X时有F1?x??f?x??F2?x?，且
x???limF1?x??limF2?x??a,
x???则limf(x)?a
x???夹逼定理对数列极限也成立.如果数列{xn},{yn}及{zn}满足yn?xn?zn(n?1,2,3,...),且limyn?a,limzn?a，那么数列{xn}的极限存在，且limxn?a.
n??n??n??二、函数极限与数列极限的关系
定理2limf(x)?a的充要条件是对任意的数列?xn?，xn?D?fx?x0??xn?x0?，当
xn?x（n???）时，都有limf?xn??a，这里a可为有限数或为?. 0n??此定理的证明较繁，此处从略.
定理2 常被用于证明某些极限不存在.
1例1 证明极限limcos不存在.
x?0x1，则1证 取?xn??limxn?lim?0，而
n??n??2nπ2nπ1limcos?limcos2nπ?1. n??xnn??????11xn??lim?0，而 又取xn????，则limn??n??2n?1π2n?1π????????1limcos?limcos(2n?1)π??1， n???xnn????由于 limcos1?limcos1 n??xnn??x?n故limcosx?01不存在. x＊三、柯西收敛准则
（f）定理3 limf(x)?a的充要条件是：?ε?0，?δ>0，当x1,x2?D且0?x1?x0<δ，
x?x00?x2?x0?δ时，有f?x1??f?x2??ε.
证明从略.
定理3中的极限过程改为x???，x???或x??时，结论仍成立.
x2?X2（f）定理4 limf(x)?a的充要条件是：?ε?0，?X>0，当x1,x2?D，且x1?X，x??时，有f?x1??f?x2??ε.
四、两个重要极限
利用本节的夹逼定理，可得两个非常重要的极限. 1.limsinx?1
x?0xsinxπ???1.因为x?0?，可设x???0，?.如图1－32所示，其中，EAB为
x?2?我们首先证明lim?x?0单位圆弧，且
OA?OB?1，?AOB?x，
则OC?cosx，AC?sinx，DB?tanx，又△AOC的面积＜扇形OAB的面积＜△DOB的面积，即 cosxsinx＜x＜tanx.
图1-35
因为x????0，π?2??，则cosx?0，sinx?0，故上式可写为 cosx?sinx1x?cosx.
由lim1x?0cosx?1，limx?0cosx?1，运用夹逼定理得
xlimsinx?0?x?1. 注意到
sinxx是偶函数，从而有
limsinx?sin(?x)sinz0?xxlim?0??x?lim?x?z?0?z1. 综上所述，得
limsinxx?0x?1. 例2 证明limtanxx?0x2?1.
证limtanxsinx1x?0x?limx?0x?cosx ?limsinxx?0x?lim1x?0cosx?1. 例3 求lim1?cosxx?0x2. ?2解 lim?cosx2(sinx2)21sinx?x?0x2?limx?0x2?12lim??2?x?0?1. ?x?2?2??例4 求limtanx?sinxx?0x3. 解limtanx?sinxsinx(1?cosx)x?0x3?limx?0x3cosx ?limsinx1?cosx11x?0x?x2?cosx?2. 例5 求limx??xsin1x.
解 令u?1x，则当x??时，u?0，故 (1-6-1) 1sinu?lim?1.
x??xu?0u从以上几例中可以看出，式（2-6-1）中的变量可换为其他形式的变量，只要在极限过程中，该变量趋于零.即如果在某极限过程中(x?x0,x??,x???,x???)有
sinu(x)limu(x)?0[u(x)?0]，则lim?1仍然成立的.
u(x)limxsin11??2. lim????e x???x?11??在本章第三节例5中，我们已证明了lim????e. x???n?对于任意正实数x，取n?[x]（[x]的定义见第一节例4），则有n?x?n?1，并且有x???与n??两个极限过程是等同的.故有1?1?1?1?1?1，及
n?1xnnx?1?1???1?1???1?1???????n?1??x??n??由于x???时，有n??，而
?1?1?n??n?1?1???lim?1???limn???n?1?n??1?1n?1n?1nxn?1.
?e，
1lim?1????n???n?11??由夹逼定理使得lim????e. x????x?xn?11?lim?1????n???n?n?1?1??e， ???n??11??下面证lim????e. x????x?令x???t?1?，则x???时，t???，故
11?lim?1???lim?1?????x????x?t????t?1?x?(t?1)xt??lim???t????t?1??(t?1)
t??lim???t????t?1?综上所述，即有
t?t??e.
???t?1?x1lim?1?????e. (1-6-2) x???x?在式（1-6-2）中，令z?1，则当x??时，z?0，这时式（1-7-2）变为 xlim(1?z)?e.(1-6-3)
z?01z为了方便地使用式（1-6-1）和式（1-6-2），将它们记为下列形式：
（x?x0，x??，x???，x???）（1） 在某极限过程中，若limu?x???，则
?1?lim?1???u(x)?u(x)?e；
（2） 在某极限过程中，若limu?x??0，则
lim??1?u(x)??1u(x)?e.
k1??例6求lim????k?0?. x???x?k??1?k?k 解lim?1??lim????x???x???x?x?x??kk???lim??1????ek. x????x????kxx?kxx?1?例7求lim???. x???x?2?x?1??1??1??lim?1??lim?1?解lim???????x???x?2?x???x?2?x???x?2?xxx?2?2x
?1??lim?1???x???x?2?例8求limx?2?1??lim?1??e?1. ??x???x?2??2ln(1?x).
x?0x1ln(1?x)x解lim?limln(1?x)?lne=1. x?0x?0xx例9求lime?1.
x?0x解 令u?ex?1，则x?ln?1?u?，当x?0时，u?0，故
ex?1u1lim?lim?lim?1. x?0u?0ln(1?u)u?0ln(1?u)xulnx?lnaa?0.
??x?ax?a解 令u?x?a，则x?u?a，当x?a时，u?0，故
ln(u?a)?lnalnx?lna lim?limx?au?0x?aua1uu1?limln(1?)?. u?0aaa由例9、例10的结论，我们很容易得到下面两个公式：
ax?1lim?lna； (1-6-4) x?0xlnx?lna1lim?. (1-6-5) x?ax?aa其中a?0为常数.公式(1-6-4)和(1-6-5)可以看作是公式(1-6-2)的变形公式.第二个重要极限及其变形公式是计算幂指函数极限的一个有效方法.上述公式在实际应用时，我们经常结合本章第五节“复合函数求极限的方法”即定理2，使计算更加简单.下面以x?x0为例，说明这一方法.其他极限过程也一样适应.
首先将幂指函数凑为U(x)V(x)，其中U?x?,V?x?分别满足
例10 求limx?x0limU(x)?e， [由公式(1-6-2)，(1-6-4)或(1-6-5)求得]