全国2009年4月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，
|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的铁。 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
0?1011?101．3阶行列式aij=1?1中元素a21的代数余了式A21=（ C ）
A．-2 C．1 2．设矩阵
?a11?A=??a?21a12???a22???a21?a11?，B=??a11?B．-1 D．2
a22?a12????a12??0?，P1=??1?1???0???1?，P2=??1?0???1??，则必有（ A ）
A．P1P2A=B C．AP1P2=B A．A-1C-1 C．AC
?0??A=?0????010???1????0?B．P2P1A=B D．AP2P1=B B．C-1A-1 D．CA
3．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（ D ）
4．设3阶矩阵
0，则A2的秩为（ B ）
0A．0 C．2
B．1 D．3
5．设?1,?2,?3,?4是一个4维向量组，若已知?4可以表为?1,?2,?3的线性组合，且表示
法惟一，则向量组?1,?2,?3,?4的秩为（ C ）
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A．1 C．3
B．2 D．4
6．设向量组?1,?2,?3,?4线性相关，则向量组中（ A ） A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
7．设?1,?2,?3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该
方程组基础解系的是（ B ） A．?1,?2,?1??2 C．?1,?2,?1??2
8．若2阶矩阵A相似于矩阵
?2?B=??2?B．?1??2,?2??3,?3??1 D．?1??2,?2??3,?3??1
0???，E?3??为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵
是（ C ）
?1?A．??1?0???4??
??1?B．??1?0????4??
??1?C．???2?0???4??
??1?D．???2?0????4??
?A~B,?A与B必有相同的特征值.而B的特征值为2、?3，?A的特征值也为2、?3.?方阵多项式f?A??E?A对应的多项式为f?x??1?x
特征值为f?2??1?2??1,f??3??1?3?4.9．设实对称矩阵
?2??A=?0????00?420???2?????1?，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的规范形为（ D ）
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A．z12C．z12f?z2?z3?z2222
B．z12D．z12?z2?z3?z2222
2222
?x1,x2,x3??2x1?4x2?x3?4x2x3?2x1??4x2?4x2x3?x322??2x21??2x2?x3?,2?y1?x1,22作线性变换?立刻得到标准形f?2y1?y2?y2?2x2?x3,??z?2y122再作线性变换?1,可得二次型的规范形f?z1?z2.??z2?y2
10．若3阶实对称矩阵A=（aij）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（ D ） A．0 C．2
B．1 D．3
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
a112a124a226a323a136a239a33a11a12a22a32a13a23a3311．已知3阶行列式
2a213a31=6，则
a21a31=_.
61a112a213a31
2a124a226a323a139a33a11a312a122a222a323a133a33a11a31a12a22a32a13a33a11a31a12a22a32a13a23?a336a23?2?3a213a23?6?2?3a21a23?6,?a2116.12．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，
则D3=1×(-3)＋(-2)×2＋3×1＝－3－4＋3=－4. 13．设
?1?A=???1?2???0??，则
??1A2-2A+E=(A－E)2=?????12??1???0??00???0????1????122??0????1???122??0???1???12???2????1??1?2???1?.
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14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若
?1?B=??3?2???4??，则A=___.
将2阶矩阵的第2列的（-2）倍加到第1列得到初等方阵为T21??2????1T21?2????20??1??1??22??4?0??1?，其逆矩阵为
∴AT21??2??01???2????3??1B,?A?BT21?2????32??1??4??20??5???1??11
15.设3阶矩阵
?0??A=?0????32，则
?0?A-1=??1?1??1212013??0. ?0??3?A,E3??0??0??3?0231101?12?03?01?01?01?101001200??①?③0?????1???3?0??0?320?1?0??0?3?02?01?11100100??10??11?11?1?①?0?3????0??0120?1?0??0?1201?02?01?1010?1?0??0?13??0?0??0100?00??11?1?1212013??0?0???1?2????0??0?1?②13?①+(-1)?③?②+(-1)?③0??????0??13??①+(-1)?②0??????0???A?1?0???1??1??1212013??0?0??
16.设向量组?1=（a,1,1）,?2=（1,-2,1）, ?3=（1,1,-2）线性相关，则数a=_－2_.
②+(-1)?①a111?2111?2①?③1?1a1?21?2③+(-a)?①1?001?31?a?231?2a按第一列展开11??31?a31?2a
?????3?1?2a??3?1?a????3?2?a??0,?a??2.17.已知x1=(1,0,-1)T, x2=(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则对应齐次线
性方程组Ax=0有一个非零解向量?=__(2,4,6)T_. 18.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为?1=(1，1)T,
?2=(1，k)
T
，则数k=_-1____________________.
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?x设A???yy??A?1??1?x,则,即???z??y?A?2?2?2y??1??1??x??????,?z??1??1??yy??1??1??2?????,z??k??k??x?y?1?x?1?y?k??1????y?z?1?z?1?y?y??12??????.x?ky?2ky?y?1x?32????y?kz?2k?y?ky?k?z?32???
19.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则|B+E|=－4.
f?B??B?E?f?x??x?1,f?0??1,f??2???1,f?3??4;?B?E?f?0??f??2??f?3??1???1??4??4.
?1?A=??1?0?22?12?120.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵
0???1. ?1??2f?x1,x2,x3???12?1x1?2x1x2?x2?x2?2x2x3?x3?x1?2x2?x3?2x1x2?2x2x3.0???1?1??2222?1??A??1??0?
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
1x321.已知3阶行列式
aij=
x20中元素a12的代数余子式A12=8，求元素a21的代数余子式
5?14A21的值.
1解?aij?x5?A21???1?2?1x2?130，?A12???1?4x?134???2?134?5.1?2M12??x504??4x?8，?x??2.
M21??22.已知矩阵
??1?A????1?1???0????1?，B=??0?1???2??,矩阵X满足AX+B=X，求X.
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