解根据已知条件AX?B?X可得?X?AX?B??1即????0?2而??11??②3?E?A?X?B.1??2???2??1?1???1X???1??0?1??01??.2?1?0?3??12?? ?3?1??1?0???1???1???1?1??11?01????1X????0???0?1??21?①?②?????2?1?01?131?0?1??1?1??02?②+(-2)?①??????1?0??131?13?1??????0?2验证:??12?①+(-1)?②??????1?1???1???1??01??2?1???13.?X???1??13?1???13??1??1323.求向量组?1=(1,1,1,3)T，?2=(-1,-3,5,1)T，?3=(3,2,-1,4)T，?4=(-2,-6,10,2)T的一个极大无
关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.
解?1?以所有列向量形成4?4矩阵，并将其化为简化阶梯形矩阵.?1?1???1??33?1?7?7?1?2000010?1?35132?14?2?②+(-1)?①?③+(-1)?①?6+(-3)?①??④????10??2??1?0??0??0?1100?1?2000010?1?0??0??03?1?70?1?2643?1?4?5?2???4?12??8??1?0??0??00100?1?20000103?1100??2?0??0??2???4?0??0?A???1,?2,?3,?4??1?③+3?②0④+2?②??????0??0?1?①+(-3)?③0②+1?③???????0??0记为?1?200?2???4+(-1)?③??④????0??0??2??1??②?42?????0??0??1?0??0??0?2??1??③?47?????0??0??1?0??0??0?2??2+1?②??①???0??0???1,?2,?3,?4??B.显然,B是A的简化阶梯形矩阵.易见：B的列向量组的一个极大线性无关组为??1,?2,?3?.?A的列向量组的一个极大线性无关组为??1,?2,?3?，从而??1,?2,?3?是原向量组的一个极大线性无关组.?2?B的第4列的前三行元素是?4用?1,?2,?3线性表出的表出系数，即：?4?0?1?2?2?0?3.?A的向量组与B的向量组对应，??4?0?1?2?2?0?3.浙04184# 线性代数（经管类）试卷 第 6 页 （共 11 页）
?ax?x?x?0?12324.设3
元齐次线性方程组???x1?ax2?x3?0，
????x1?x2?ax3?0（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；
（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.
解?1?齐次线性方程组有非零解时，其系数矩阵的行列式为零即②+(-1)a11a?211111?①11③+(-1)A?1a1a?2a1??a?2?1a1?①?a?2?0a?111a①+1?②+1?③a?21a11a00?a?2?a?102按第一列展开0a?1??a?2??a?1??0.当a??2或a?1时,方程组有非零解.?2?将a??2代入系数矩阵,并将它简化为行阶梯形矩阵，即??211??11?2??11?2?A???1?21?①?③?②1?+(-1)?①③+2?①????????1?2???????0?33???11?2?????211????03?3???11?2??11?2??10?1??③?+1??②???3??1②???03??3???01?1??????①?+(-1)???②??01?1??000????000?????000??据此得原方程组的同解方程组?x1?x3?0?x1?x???3?x2?x3?0?x2?x,33个未知量2个方程,必有1个自由未知量,不妨令x3为自由未知量，且x3?1?1?得x一个基础解系，???1?1,x2?1,则原方程组的1??1???1???1?于是得原方程组的通解为：??k???1?k?1???k为任意实数?.?1??
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10a?1?3?将a?1?A?1??1??1代入系数矩阵,并将它简化为行阶梯形矩阵，即1111?②+(-1)?①?③+(-1)?①1??????1???1?0??0?1001??0.?0??据此得原方程组的同解方程组x1?x2?x3?0.3个未知量1个方程,必有2个自由未知量,不妨令x2、x3为自由未知量，?x2??1?分别令?????或?x3??0??0???，则x1??1.?1???1???1?????得原方程组的一个基础解系，?1?1,?2?0?????0??1???????1???1?????于是得原方程组的通解为：??k1?1?k2?2?k11?k20?k1、k2为任意实数?.?????0??1?????
?2??B=?3????401???3?， ???5?25.设矩阵
10（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；
（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵?和可逆矩阵P，使P-1BP=?
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???2?解?1??A的特征方阵?En?B??3???4?0??10?1???3.?A的特征方程为???5??0??2?En?B??3?4②+3?①0?1?3①+1?③??6?3?4??6?31????6??3?401?3??100??10??10??510??5??51③+4?①???6?00??10????6????1?.得?1??2?1，?3?6为B的三个特征值.2??1属于?1??2?1的特征向量满足矩阵方程为??1???En?B?x???3??4?000?1??x1?????3x2??x1?x3?0.??????4???x3?3个未知量1个方程,必有2个自由未知量,不妨取x2、x3为自由未知量，?x2??1?分别令?????或?x3??0??0???1?0????????，则x1?0或?1.于是得2个线性无关的特征向量p1??1?或p2??0?.?1??0??1?????属于?3?6的特征向量满足矩阵方程为?4???En?B?x???3??4?050?1??x1??x3?0?x3?0?4x1?4x1?x3?4x1????3x2??????,????3x?5x?3x?015x?5x?0x?3x123?12?21???1???x3?3个未知量2个方程,必有1个自由未知量,不妨取x1为自由未知量，令x1=1，则x2?3,x3?4,?1???于是得1个线性无关的特征向量p3?3.???4????这个三阶矩阵B有三个线性无关的特征向量，它必相似于对角矩阵.?0?11??1????1?2?根据以上结论，于是找到可逆矩阵P??103?,使得PBP?????014??????2?验证：BP?3??4?0101??0?11??0????3103?1???????5??014???022
1??.?6???1016??0?11??1????18?P??103????????24??014??21???6??26.设3元二次型
标准形.
f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x2?2x2x3,求正交变换
x=Py,将二次型化为
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解二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x2?2x2x3所对应的对称矩阵为?1?A??1??0??12?10???1?1??222先求出A的特征值.??1?E3?A?1②+(-1)?①101①+1?②+1?③?10???210?11??10111101??2110??21??1??1??1?00??31?按第一列展开??31??1??1=????1????3?=0.?A的3个特征值为?1?0,?2?1,?3?3.属于?1?0的特征向量满足矩阵方程??1?1??0?1?210??x1??0??0??x1?x2??????1x?0??x1?2x2?x3?0?x1?x2?x3.??2?????????1?x2?x3?0??x3??0??3个未知量，个2等式，?只有1个自由未知量.不妨设x1?1,则x2?x3?1.?1?1??1?1??????1?可得一个特征向量p1?1，并单位化p1??1????3?1??1???????1?属于?2?1的特征向量满足矩阵方程?0?1??0?1?110??x1??0?x2?0??x2?0?????1x2?0??????????x1?x2?x3?0?x1??x3?x??0?0???3???3??3?.?3??3个未知量，个2等式，?只有1个自由未知量.不妨设x1?1,则x2?0、x3??1.?1??1??12??1??????2?可得一个特征向量p2?0，并单位化p0??0?.????2??1???1?????????12?属于?3?3的特征向量满足矩阵方程?2?1??0?1110??x1??0??0?2x1?x2?x3?x1??????1x2?0??x1?x2?x3?0??.?????x??2x?21?????2?x2?2x3?0??x3??0??3个未知量，个2等式，?只有1个自由未知量.不妨设x1?1,则x2??2、x3?1.?16??1??1???1?????3?可得一个特征向量p3??2，并单位化p?2=??26?.????6???1??????1??16???
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于是，得到正交矩阵?1?P??1??1?33310?1226???26??16??1222
经正交变换x?Py后，原二次型化为标准形f?0y1?y2?3y3.四、证明题（本题6分）
27.已知A是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.
证由已知条件A2?2A?0?A?A?2E??A???????02E????0?A??0E?0E?A???2E?A??0?A???2E?A??0
?0E?A?2E?A?0?0E?A?0或?2E?A?0.?A的特征值只能是0或?2.
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