重庆十一中高2017级高三12月月考数学(文)答案
命题人：刘爱莲 审题人：刘翠碧
一、选择题：
1、A 2、D 3、B 4、C 5、A 6、D 7、D 8、B 9、D 10、C 11、A12、C 二、填空题：
13．若复数
（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a= 1 ．
14．函数f（x）=x3+sinx+2016（x∈R），若f（a）=2015，则f（﹣a）=_2017______．
15．设变量x，y满足约束条件
，则z=（）2x﹣y的最小值为______．
16．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．
，将此椭圆绕y轴旋转一
解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥， 根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣故答案为：三、解答题
．
）=
．
17．AB=AC=3，BC=2，B的角平分线交过点A且与BC平行的直线于D，如图，在△ABC中，AC与BD交于点O．
（1）求△OAB与△OBC的面积之比； （2）求sin∠BAD的值．
【考点】余弦定理的应用．
【分析】（1）运用三角形的内角平分线定理和三角形的面积公式，计算即可得到所求值； （2）由等腰三角形的定义和平行线的性质，结合诱导公式可得sin∠BAD=sinC，运用余弦定理和同角的平方关系，计算即可得到所求值． 【解答】解：（1）BD为∠ABC的平分线， 由角平分线定理知：
， 2
即有； 5
（2）由AD∥BC且AB=AC， 可得∠ABC=∠ACB=∠CAD，
即有sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin（∠BAC+∠ABC）=sinC， 在△ABC中，AB=AC=3，BC=2， 7 可得
， 9
即有sinC=
故sin∠BAD的值为
=， ． 12
18．某校高三文科500名学生参加了1月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机表法从中抽取100名学生进行统计分析，抽出的100名学生的数学、语文成绩如表： 语文 优 良 及格 优 数学 良 8 9 m n 9 9 11 11 及格 8 （1）将学生编号为000，001，002，…499，500，若从第五行第五列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4～第7行）； 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （2）若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；
（3）在语文成绩为良的学生中，已知m≥13，n≥11，求数学成绩“优”比良的人数少的概率．【解答】解：（1）由随机数表法得到5个人的编号依次为：385，482，462，231，309．… 3 （2）由
=0.35，得m=18， 5
因为8+9+8+18+n+9+9+11+11=100，得n=17． 7… （3）由题意 m+n=35，且m≥13，n≥11， 所以满足条件的（m，n）有：
（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、
（19，16）、（20，15）、（21，14）、（22，13）、（23，12）、（24，11）共12种， 10 且每组出现都是等可能的．…
记：“数学成绩“优”比“良”的人数少”为事件M，
则事件M包含的基本事件有（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）共5种，所以P（M）=
．… 12
19．如图已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，D，E分别为AB，PC的中点，BF=2FC． （I）求证：PD∥平面AEF； （Ⅱ）求几何体P﹣AEF的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，
在线段BC上，取BG=GF，连接PG，DG，
在△ABF中，∵BG=GF，AD=DB，∴GD∥AF， 3 在△PCG中，∵CF=GF，PE=EC，∴EF∥PG， 又PG∩GG，∴平面PGD∥平面AEF，
则PD∥平面AEF； 6
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°， ∴
又E为PC的中点，∴
=， 9
． 12
20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，⊙M过坐标原点和F点，且圆心M到抛物线C的准线距离为 （Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知抛物线C上的点N（s，4），过N作抛物线C的两条互相垂直的弦NA和NB，判断直线AB是否过定点？并说明理由．
【解答】解：（I）抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣． ∵⊙M过坐标原点和F点，∴M在直线x=上．
∴M到抛物线的准线的距离d=，解得p=2．
∴抛物线方程为y2=4x． 5 （II）把y=4代入抛物线方程得x=4．即N（4，4）． 设A（
，y1），B（
，y2）．
kNA=
=
，kNB=
=
，kAB=
=． 7
∵直线NA和直线NB互相垂直，∴
，即y1y2=﹣4（y1+y2）﹣32．
∴直线AB的方程为y﹣y1=
（x﹣），即y=+=﹣4，9
即AB方程为y+4=（x﹣8）．
∴直线AB过定点（8，﹣4）． 12 20．已知函数
（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）为单调递减函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）略4（Ⅱ）问题转化为h（x）=xf（x）在（0，+∞）递减，求出h（x）的导数，得到a≤﹣围即可．
【解答】（Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式
即x1f（x1）﹣x2f（x2）]（x1﹣x2）＜0在（0，+∞）恒成立， 8 即h（x）=xf（x）在（0，+∞）递减，
而h（x）=ax2+2xlnx﹣a，h′（x）=2（ax+1+lnx），
恒成立，
，（x＞0），令m（x）=﹣
，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范
恒成立，求a