线性代数讲义 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
上一章我们看到, 当我们引进矩阵的运算和逆矩阵等概念后, 矩阵逐渐显露出它的作用. 这一章我们再引进矩阵的初等变换和秩的概念, 又增添了它的应用活力. 利用它们我们可以很方便地判断一个线性方程组是否有解, 若有解, 又有什么样的解. 并方便的求出它的解.
主要内容
1. 矩阵的初等变换. 2. 矩阵的秩. 3. 线性方程组的解.
重点内容 矩阵的初等变换与矩阵的秩.
第一节 矩阵的初等变换
一、消元法解线性方程组
引例 求解线性方程组
? 3x1? ??2x1?12x1?解 用消元法求解.
? x2?3x2?12x2?4x3? x3?12x3?8,??9,? (1)??1.?对方程组进行变换: 对增广矩阵B作初等行变换:
?12x1?12x2?12x3??1,??121212??1????????2x1 ? 3x2 ?x3? 9,? Br?r?23?1?9 (1)????????13??????????;
? 3x ? x ?4x? 8.??314?8???123?? x1? x2? x3 ??2,??1?11??2????2????2x1?3x2? x3 ? 9,? r?2 ?23?1?9?????1??????????;
? 3x? x?4x? 8;??314?8???23?1?x1? x2?x3??2,??1?11??2?r?(?2)?r??2????12?x2?x3? 5,? 011?5???; r?(?3)?r??(?3)??13??????????????? 4x?x? 14;??????????????41?14??0?23??x1?x2?x3??2,??1?11??2??????(?4)??x?x? 5,?r?(?4)?r011?5 ?2323????????????????????????????.
??00?3??6? ?3x3??6.????由此回代得: x3?2,x2?3,x1??1.
说明 1) 解线性方程组可以通过对其对应的系数矩阵做一系列变换来进行;
2) 引例中最后一个方程组称为阶梯型方程组, 其对应的矩阵称为行阶梯型矩阵(简称阶
梯形矩阵), 其特点是每一个非零行的第一个非零元素下方的元素全为零.
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湖北汽车工业学院理学系数学教研室 胡政发
例1 求解线性方程组
?x1?2x2?3x3?1,??3x1?x2?5x3?2, ?2x?x?2x?3.3?12解 将增广矩阵化为阶梯型
?1?23?1??1?2???B??315?2???05?212?3??05???对应的阶梯型方程组为
3?1??1?2???4??1???05??4?1???003?1???4??1?, 0?2???x1?2x2?3x3 ? 1,?5x2?4x3 ??1, ?? 0?x3 ? 2.?由此可看出方程组无解.
二、矩阵的初等变换
定义1 对矩阵做如下三种变换称为矩阵的初等行(列)变换: 1)对调矩阵的任意两行(对调i,j两行, 记作ri?rj); 2)用k?0乘矩阵的某一行(第i行乘k, 记作ri?k);
3)将矩阵的某一行乘数k加到另一行(第j行的k倍加到第i行上, 记作ri?krj). 把定义中的“行”换成“列”, 即得初等列变换的定义(所用记号是把r换成c). 矩阵的
初等行变换与矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换. 说明 1) 矩阵的三种初等变换都是可逆的;
2) 若矩阵A经有限次初等行变换变成B, 则称A与B行等价, 记为: A~B; 若矩阵
rA经有限次初等列变换变成B, 则称A与B列等价, 记为: A~B; 若矩阵A经有限次初等变换变成B, 则称A与B等价, 记为: A~B. 等价关系具有以下性质:
(i) 反身性 A~A;
(ii) 对称性 若A~B, 则B~A;
(iii) 传递性 若A~B, B~C, 则A~C.
数学上把具有上述三条性质的关系称为等价, 例如, 两个线性方程组同解, 就称这两个线性方程组等价.
例2 试用初等变换将矩阵
c1?3??12?2?503A???3?814??1?2?12化为阶梯型.
3??2? ?3?1? 2
线性代数讲义 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
解
??12?0?1A~??0?2??00??12?0?1?~?00??0012401200?33???12???38??0?1~??512?00???14??00?33???38??B1,
1?4??00?0100?5?2001200?33???38? ?1?4??14?矩阵B1为阶梯形矩阵. 若将B1再作初等行变换化为如下形状
??B1~????其他元素全为零.
1000017??04??B2, ?1?4?00?则B2称为行最简形矩阵, 其特点是非零行的第一个非零元素为1, 且这些非零元所在列的
说明 1) 用数学归纳法可以证明, 任何一个矩阵Am?n, 是可以经有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.
2) 再经过初等列变换, B1或B2可化为
??B2~????100001000 010000 00??0??F, 0??0?矩阵F称为矩阵A的标准形, 其特点是F的左上角为一个单位矩阵, 其余元素全为零. 一般地, 对m?n矩阵A, 总可以通过初等变换(行变换和列变换)化为下面的标准形:
?E0?F??r?,
0 0??m?n此标准型由m,n,r三个数完全确定, 其中r就是行阶梯型矩阵中非零行的行数. 所有与A等价的矩阵组成一个集合, 称为一个等价类, 标准型F是这个等价类中最简单的矩阵.
第二节 初 等 矩 阵
一、初等矩阵的概念
定义2 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应三种初等矩阵： 1、对调两行或对调两列
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湖北汽车工业学院理学系数学教研室 胡政发
?1????????0?1???1????????E(i,j)???
?1?????1?0??1????????1???
2、以数k?0乘某行(列)
第i列
第j列
第i行
第j行
?1????1?E(i(k))???????
?????k? ?1???1??第i行
第j列
3、以数k乘某行(列) 加到另一行(列)
?1????1?E(ij(k))???????
k?1?1?????? ?????第i行
第j行
第i列 第j列
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线性代数讲义 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
二、矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系
下面观察用初等矩阵左乘和右乘A与初等变换有何关系. 例如
?100??a11a12a13??a11a12a13???????E(2,3)A??001??a21a22a23???a31a32a33?.
?010??a??????31a32a33??a21a22a23?由上面可以看出, 用初等矩阵E(2,3)左乘A, 相当于将A的2,3行交换, 即对A做相应的
初等行变换.
?a11a12a13??10k??a11a12ka11?a13???????AE(13(k))??a21a22a23??010???a21a22ka21?a23?.
???a????31a32a33??001??a31a32ka31?a33?由上面可以看出, 用初等矩阵E(13(k))右乘A, 相当于将A的第一列乘数k加到第三列, 即对A做相应的初等列变换.
定理1 用初等矩阵左乘A, 相当于对A做相应的初等行变换; 用初等矩阵右乘A, 相当于对A做相应的初等列变换.
注记 容易验证, 这三种初等矩阵都可逆, 且它们的逆阵也都是初等矩阵
1E(i,j)?1?E(i,j); E(i(k))?1?E(i()); E(ij(k))?1?E(ij(?k)).
k三、矩阵可逆的充要条件
定理2 矩阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2?Pl, 使A?P1P2?Pl. 证 先证充分性. 设A?P1P2?Pl , 因为P1,P2,?,Pl可逆, 从而
A?P1P2?Pl?0,
所以A可逆.
再证必要性. 设n阶矩阵A可逆, 它的标准型矩阵为F, 因为F~A, 所以存在初等矩阵P1,P2,?,Pl, 使
A?PP12?PsFPs?1?Pl.
因为A及P1,P2,?,Pl都可逆, 所以
F?Ps?1Ps??11?P1?1APl?1?Ps??11,
即F也是可逆矩阵, 故F?E, 从而有A?P1P2?Pl. 证毕
推论 1 方阵A可逆的充要条件是A~E.
推论2 m?n矩阵A~B的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q, 使
得PAQ?B.
r四、初等变换在求逆矩阵中的应用
设有矩阵方阵AX?B, 当A为可逆阵时, 得X?AB. 下面利用定理2可推导出用初等变换求AB及A的方法.
?1?1?1 5