线性代数讲义 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 理有R(B)?R(A,B), 因此有
max?R(A),R(B)??R(A,B).
?,B?,B?, 则A?中分别设R(A)?r,R(B)?t, 将A,B分别做初等列变换化为列阶梯形A含有r个和t个非零列. 故可设
??(a??(b?,?b?,0?0) ?1,?a?r,0?0), BcBA~A1t?c?,B??,B?)只含有r?t个非零列, 所以R(A?)?r?t.而A,B. )因为矩阵(A从而(A,B)~(??,B?), 故R(A,B)?r?t. 即 R(A,B)?R(A R(A,B)?R(A)?R(B). 证毕
6) R(A?B)?R(A)?R(B).
证 不妨设A,B为m?n矩阵, 对矩阵(A?B,B)做列变换ci?cn?i(i?1,2?n), 即得
c(A?B,B)~(A,B). 于是由性质5, 有
R(A?B)?R(A?B,B)?R(A,B)?R(A)?R(B). 证毕
7) R(AB)?min?R(A),R(B)?, 即R(AB)?R(A)且R(AB)?R(B). 8) 若Am?nBn?l?0, 则R(A)?R(B)?n. 说明 性质7)和8)的证明在后续章节中进行. 例9 已知
c?123???Q??24t?,
?369??? P为三阶非零矩阵, 且PQ?0, 则下列结论中正确的是: (A)t?6时 , R(P)?1; (B) (C)t?6时 , R(P)?1; (D)分析：当t?6时,
t?6时 , R(P)?2; t?6时 , R(P)?1.
?123??123?????Q??246?~?000?,
?369??000?????所以R(Q)?1, 由性质8)知, R(P)?R(Q)?R(P)?1?3, 所以R(P)?2. 证明P的秩可以是2或1, 排除(A),(B)两选项. 当t?6时, 易知R(Q)?2, 从而R(P)?1, 又因为
P?0, 所以R(P)?0, 故R(P)?1, 所以选(C).
第四节 线性方程组的解
一、线性方程组求解
设有m个方程的n元线性方程组
11
湖北汽车工业学院理学系数学教研室 胡政发
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 ? (2)
????am1x1?am2x2???amnxn?bm,(2)式可写成以向量x为未知元的向量方程
Ax?b, (3) 其中A?(aij)m?n称为(2)的系数矩阵, b为m维列向量, B?(A,b)称为增广矩阵. 说明 线性方程组(2)有解, 就称它是相容的，如果无解，就称它不相容.
定理4 设有n元线性方程组Ax?b, 则 1) Ax?b无解的充要条件是R(A)?R(A,b); 2) Ax?b有唯一解的充要条件是R(A)?R(A,b)?n; 3) Ax?b有无穷解的充要条件是R(A)?R(A,b)?n. 证 只证充分性, 必要性在充分性成立的情况下是显然的.
设R(A)?r, 为叙述方便不妨设矩阵B?(A,b)的行最简形为:
?1??0???0?B???0?0???0?程无解;
0?0b11?b1,n?r1?0b21?b2,n?r?0?1br1?br,n?r0?00?00?00?0?0?00?0d1??d2???dr??. dr?1?0???0???中的d?1, 于是B?的第r?1行对应矛盾方程0?1, 故方1) 若R(A)?R(B), 则Br?1?中的d?0(或d不出现), 且b都不出现, 于是B?2) R(A)?R(B)?r?n, 则Br?1r?1ij对应方程组
?x1?d1,?x?d,?22 ?????xn?dn,故方程组有唯一解.
?中的d?0(或d不出现, 于是B?对应方程组 3) R(A)?R(B)?r?n, 则Br?1r?1 12
线性代数讲义 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
?x1??b11xr?1???b1,n?rxn?d1,??x2??b21xr?1???b2,n?rxn?d2, ????xn??br1xr?1???br,n?rxn?dr,?令自由未知数xr?1?c1,?xn?cn?r, 即得方程组的含n?r个参数的解:
?x1???b11c1???b1,n?rcn?r?d1????????????xr???br1c1???br,n?rcn?r?dr?? ????c1??xr?1????????????x????cn?r?n???即
??b1,n?r??d1??x1???b11???????????????????????br,n?r??dr??xr???br1? ????????????cn?r?x1?0??0??r?1?????????????????????0???x????1??0???n??????因为参数c1,?cn?r可任意取值, 所以方程组有无穷多解.
说明 1) 求解线性方程组的步骤归纳如下：
(4)
(i) 写出Ax?b的增广矩阵B?(A,b), 并把它化为行阶梯形, 若R(A)?R(B), 则
方程组无解;
(ii) 若R(A)?R(B), 则进一步化为行最简形, 由此得出方程组的解. 2) 解(4)称为线性方程组(2)的通解. 3) 对于n元齐次方程组?x?0, 有: (i) ?x?0只有零解的充要条件是R(A)?n; (ii) ?x?0有非零解的充要条件是R(A)?n. 例10 求解齐次方程组
?x1?x2?5x3?x4?0,??x1?2x2?2x3?3x4?0, ?3x?4x?8x?x?0.234?1解 将系数矩阵A化为行最简形
?115?1??115?1??1012?5???????A??12?23???01?74???01?74?,
?3481??0000??0000???????
13
湖北汽车工业学院理学系数学教研室 胡政发 由此得出同解方程组
?x1?12x3?5x4?0, ?x?7x?4x?0.34?2故得
?x4,?x1??12x3?5 (x3,x4可以任意取值).
?x2?7x3?4x4令x3?k1,x4?k2把它写为参数形式
?x1??12k1?5k2,?x?7k?4k,?212 ? (k1,k2为任意实数). x?k,1?3?k2?x4?还可以写成向量形式
?x1???12??5???????x7?2??k???k??4?. ?x3?1?1?2?0???????x??0???1??4? 例11 求解非齐次方程组
?x1?x2?2x3?x4?4,??3x1?2x2?x3?2x4?2, ?2x?3x?5x?3x?10.234?1 解 对增广矩阵做初等行变换化为行阶梯形
?11?2?1?4??1???B??3?2?12?2???0?23?5?3?10??0????1? ??0?0?同解方程组为
1?2?1?4??1?1?1?2? 00 0?0??0?21?1000?2???1?2?. 0?0??因为R(A)?R(B)?2?n?4所以方程组有无穷多解.
?x1?2?x3, (x3,x4可以任意取值). ??x2?2?x3?x4令x3?k1,x4?k2, 把它写为参数形式
14
线性代数讲义 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
?x1?2?k1,?x?2?k?k,?212(k1,k2为任意实数), ?k1,?x3??k2?x4?或向量形式
?x1??2??1??0?????????x21?2?????k???k?1?. ?x3??0?1?1?2?0???????x???0?0???1??4???例12 设有线性方程组
?(1??)x1?x2?x3?0,??x1?(1??)x2?x3?3, ?x?x?(1??)x??.3?12问?取何值时, 此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解？并在无穷多解时求其通解.
解法1 对增广矩阵B??A,b?作初等行变换
1?0??111??????1??1????B??11??1?3???11??1?3?
?1?11?????1?0????1??1?1?????11??????3?? ??0??.
?00??(3??)?(1??)(3??)??? 1) 当??0, 且???3时, 因为R(A)?R(B)?3, 所以有唯一解; 2) 当??0时, 因为R(A)?1?R(B)?2, 所以无解;
3) 当???3时, 因为R(A)?R(B)?2?n, 所以有无穷多解解, 此时
?11?2??3??1???B??0?33?6???0?000?0??0???由此解得
0?1??1??1?1??2?, 00?0???x1?x3?1, ?x?x?2,3?2或
?x1???1??1???????x??2?k2?????1? (k?R).
?1??x??0????3??? 15