湖北汽车工业学院理学系数学教研室 胡政发
设A为可逆阵, 则由定理2 知A?P1P2?Pl, 其中Pi(i?1,2?l)为初等方阵. 于是,
?1A?1?(PP?Pl?1?P2?1P1?1. 12?Pl)设Pi?1?Qi(i?1,2?l), 则Qi也是初等方阵, 且有A?1?Ql?Q2Q1, 故有
Ql?Q2Q1A?E; ① Ql?Q2Q1B?A?1B, ②
①、②两式说明: 对A做一系列初等行变换, 将A化为单位阵E的同时, 用同样的初等行变换可将B花为AB, 即
?1(A,B)~(E,A?1B),
当B?E时, 有(A,E)~(E,A).
r?1r?1?1?2???5?, 求A?1. 例3 设A???21??319???解 由于
?1?1?2?100??100??4?7 3???r??(A,E)???215?010?~?010??3?3 1?,
??319?001??001??1?21?????所以
??4?73???A?1???3?31?.
??1?21???例4 设三阶矩阵A,B满足AB?A?2B, 其中
?301???A??110?,
?014???求矩阵B.
解 由AB?A?2B得(A?2E)B?A. 而
?101???A?2E??1?10?,
?012????1易知A?2E??1?0. 所以, A?2E可逆, 故B?(A?2E)A. 由于
1?301??101?301??10r????(A?2E,A)??1?10?110?~?0?1?1??21?1?
?012?014??012?014?????
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线性代数讲义 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1?301??100?5?2?2??10??r??2? ~?0?1?1??21?1?~?0?10??43?00?1??223?3????001??22?r?100?5?2?2???~?010?4?3?2?, ?001??223???r所以
?5?2?2???B??4?3?2?.
??223???说明 若做初等列变换, 则采用如下格式:
?E??A?c????~?(1) ??? ; (2) ???E??A?1?????? E??A?c?????~ ???. ???B?? BA?1?????第三节 矩阵的秩
一、 矩阵的秩的概念
定义3 在m?n矩阵A中任取k行与k列(k?min(m,n)), 位于这些行、列交叉处的
k2个元素, 不改变他们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式, 称为A的k阶子式.
kk说明 m?n矩阵A的k阶子式共有Cm个. ?Cn定义4 若在矩阵A中有一个r阶子式D不为零, 且所有的r?1阶子式(如果存在的话)全等于零, 则D称为A的最高阶非零子式. 数r称为矩阵A的秩. 记作R(A). 并规定零矩阵的秩等于零.
说明 1) 由行列式按行按列展开的性质知, 在A中所以的r?1阶子式全为零时, 所有
高于r?1阶的子式也全为零. 因此, 矩阵A的秩R(A)就是A中不为零的子式的最高阶数.
2) 由定义知R(A)?min(m,n), 且有且R(AT)?R(A).
3) 对n阶方阵A, 当R(A)?n时, 称A为满秩矩阵; 当R(A)?n时, 称A为降秩矩阵. 若n阶方阵A可逆, 则A?0, 故R(A)?n, 因此可逆矩阵一定是满秩矩阵, 从而A可逆?A非奇异?A满秩.
例5 求矩阵A和B的秩, 其中
?10?25??10?25?????A???3412?, B??04?517?
??14?312??0000?????解 易知A的一个二阶子式
10?4?0 , 而A的四个三阶子式都为零 即：
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10?2105?341?0, ?342?0,
?1412?14?31?250?252?, 012?312?0, 41?1?3124?3所以R(A)?2.
矩阵B为阶梯形矩阵, 很容易观察得出其秩为R(B)?2, 即为其非零行的行数.
二、 矩阵的秩的求法
定理3 若A~B, 则R(A)?R(B).
证 先证明: 若A经一次初等行变换变为B, 则R(A)?R(B). 设R(A)?r, 且A的某个r阶子式D?0.
1)当A~ B 或A~ B时, 在B中总能找到与D相对应的子式D1, 由于D1?D, 或D1??D 或D1?kD, 因此D1?0, 从而R(B)?r.
2)当A ~ B时, 分三种情况讨论：
(i) D中不含第i行, 此时D1?D?0, 所以R(B)?r;
(ii) Dr中同时含有第i行和第j行, 此时由行列式的性质知, 此时D1?D?0, 所以
krj?riri?rjri?kR(B)?r;
(iii) Dr中含有第i行但不含第j行, 此时由
??????D1?ri?krj?ri?krj?D?kD2,
若D2?0, 则D1?D?0, 所以R(B)?r; 若D2?0, 由于D2是不含第i行的r阶子式, 因此在矩阵A中必有一个不含第i行的非零r阶子式. 从而由情形(1)知, R(B)?r.
综上所述, 若A经一次初等变换变为B, 则R(A)?R(B). 由于B亦经一次初等行变换变为A, 故R(B)?R(A), 因此有R(B)?R(A). 因为经一次初等行变换矩阵的秩不变,
那么经有限次初等行变换矩阵的秩也不变.
TT设A经初等列变换变B, 则A经初等行变换变为B, 由上段证明知
R(AT)?R(BT), 又R(AT)?R(A), R(BT)?R(B), 所以R(A)?R(B).
总之, 若A经有限次初等列变换变为B(即A~B),则R(A)?R(B). 证毕 说明 据此定理, 我们可以找到一个求R(A)的简便方法, 先通过初等行变换将A化为阶梯形矩阵B, 则R(A)等于B的非零行的行数.
例6设
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线性代数讲义 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
?32050???3?236?1?A???2015?3???16?4?1?4??????? α1α2α3α4α5求A的秩, 并求A的一个最高阶非零子式.
解 对A做初等行变换化为阶梯形矩阵：
?16?0?4?A??00??00所以R(A)?3.
?4300?14??1?1?,
4?8??00?下面求A的一个最高阶非零子式. 因为R(A)?3, 所以A的最高阶非零子式为三阶,
33而A的三阶子式共有C4C5?40个, 要从中找出一个非零子式比较麻烦. 若A的第i列记
为αi,(i?1,2.3,4,5), 则A的可记为
A??α1,α2,α3,α4,α5?,
又易知矩阵B??α1,α2,α4?的行阶梯形矩阵为
?16??0?4?00??00?1??1?, ?4?0?5??6? 5???1?所以R(B)?3. 由此知B中必有三阶非零子式, 而
?32?3?2?B??α1,α2,α4???20??16的前三行构成的子式
?325??? ?3?26???16?0.
?205???所以, 这就是我们所求的一个最高阶非零子式.
例7 求矩阵
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?11?23?21?64A???32a7??1?1?6?1的秩.
解 因为
0???1? ??1?b??1?0?A~?0??0所以
1?100?230???2?2?1?,
a?800??00b?2?1) 当a??8,b??2时, R(A)?2;
2) 当a??8,b??2或当a??8,b??2时, R(A)?3时; 3) 当a??8,b??2时, R(A)?4.
例8 设
?1?112???A??3??12?,
?53?6???已知R(A)?2, 求?,?的值. 解 对A作行初等变换, 得
12??1?1?1?1???A??0??3?4?4???0??3?0?8??5?4????05?? 因为R(A)?2, 所以
2???4?4?. ??10??1?5???0???5. ??????1?0???1三、 矩阵的秩的性质
1) 0?R(Am?n)?min?m,n?. 2) R(A)?R(A).
3) 若A~B, 则R(A)?R(B). 4) 若P,Q可逆, 则R(PAQ)?R(A).
5) max?R(A),R(B)??R(A,B)?R(A)?R(B), 特别地, 当Β?b为列向量时 , 有
TR(A)?R(A,b)?R(A)?1.
证 因为A的最高阶非零子式总是矩阵(A,B)的非零子式, 所以R(A)?R(A,B); 同
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