7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧．
知识点一 柱、锥、台体的体积公式
几何体 柱体 圆柱、 V柱体＝Sh 棱柱 S—柱体底面积，h—柱体的高 体积公式 锥体 1圆锥、 V锥体＝Sh 3棱锥 S—锥体底面积，h—锥体的高 1圆台、 V台体＝(S上＋S下＋S上·S下)h 3台体 棱台 S上、S下—台体的上、下底面面积，h—高
知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V＝Sh
1
V＝(S′＋S′S＋S)h
3
1V＝Sh.
3
1．锥体的体积等于底面面积与高之积．( × ) 2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ )
类型一 多面体的体积
例1 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②，求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
考点 题点
AD
解 由主视图可知，在正三棱柱中，AD＝3，AA1＝3，从而在等边三角形ABC中，BC＝
sin60°＝
311
＝2，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝×BC×AD×AA1＝×2×3×3＝33.
223
2
反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法 (1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．
(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
跟踪训练1 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
1111A.B.C.D. 8765考点 题点 答案 D
解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
截去三棱锥A1－AB1D1. 设正方体的棱长为a， 111
则VA－ABD＝×a3＝a3，
32611115
故剩余几何体的体积为a3－a3＝a3，
661
所以比值为，故选D.
5类型二 旋转体的体积
例2 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
考点 题点 答案
8π 3
解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1
1m，圆锥的高为1m，圆柱的高为2m，因此该几何体的体积V＝2××π×12×1＋π×12×2
38π
＝(m3)． 3
(2)体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )
A．54cm3B．54πcm3C．58cm3D．58πcm3 考点 题点 答案 A
解析 由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27. 截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26， ∴小圆锥的体积为2cm3，
故原来圆锥的体积为54cm3，故选A.
反思与感悟 要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答． (1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．
(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．
跟踪训练2 设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________．
考点 题点 答案 21π
解析 设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°， 又∠BA1A＝90°， ∴∠BA1D＝60°， ∴AD＝
A1D
＝3， tan60°
∴R－r＝3.
BD＝A1D·tan60°＝33，
∴R＋r＝33.∴R＝23，r＝3，而h＝3.
11
∴V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.
33∴圆台的体积为21π. 类型三 几何体体积的求法 命题角度1 等体积法
例3 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．
考点 柱体、锥体、台体的体积 题点 锥体的体积
解 由V三棱锥A－DEF＝V三棱锥F－ADE，
111111S?ADE＝EA1?A1D1＝a2， 1124又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
111?V三棱锥F－ADE＝?a?a2＝a3，
1134121?V三棱锥A－DEF＝a3.
1112反思与感悟 (1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理． (2)利用等体积法可求点到面的距离．
跟踪训练3 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1－ABD中，求A到平面A1BD的距离d.
考点 题点
解 在三棱锥A1－ABD中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝1，A1B＝BD＝A1D