2007年广州市高二数学竞赛试卷
题 号 得 分 评卷员 一 二 （11） （12） 三 （13） （14） （15） 合 计
考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；
⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．
一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．
??1?x????7,x?0,1．设函数f(x)???2?，若f(a?1)?1，则实数a的取值范围是（ ）．
?x?0.?x,A．?-?,-4? B．??4,0? C．?0,??? D．???,?4???0,???
x2y2??1的焦点为F1和F2，2．椭圆点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1是PF2123的（ ）．
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 3．已知集合M???x,y?lg?x2??????12?． y??lgx?lgy?，则集合M中元素的个数为（ ）
4??A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
?????????4．设M是?ABC内一点，且AB?AC?23,?BAC?30，定义f(M)?(m,n,p)，其中m,n,p分
别是?MBC,?MCA,?MAB的面积，若f(P)??,x,y?，则A．9
?1?2??14?的最小值是（ ）． xy?3?1 B．18 C．16 D．9
?二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．
25．已知复数z满足：z?z?1?0，则1?z?z?z???z22232007?__________．
6．在区间??2,2?上任取两实数a，b，则二次方程x?ax?b?0有实数解的概率为 ． 7．已知函数f(x)满足：f(m?n)?f(m)f(n),f(1)?4，则
f2(1)?f(2)f2(2)?f(4)f2(3)?f(6)f2(251)?f(502)??? ． ???f(1)f(3)f(5)f(501)28．奇函数f?x?在R上为减函数，若对任意的x??0,1?，不等式f?kx??f?x?x?2?0恒成立，
??则实数k的取值范围为 ．
9．四面体ABCD中，AB＝CD＝6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长
等于 ． 10．已知x,y满足
123x?4?y?16?x2，则函数z?x?y?10的最大值与最小值之和为 ． 44三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．
11．（本小题满分15分）
n，其中m?(sin?x?cos?x,3cos已知函数f(x)?m?，n?(cos?x?sin?x,2sin?x) ?x)（??0），若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于 （Ⅰ）求?的取值范围；
（Ⅱ）在?ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，a?3,b?c?3，当?最大时，f(A)?1，
求?ABC的面积．
?． 212．（本小题满分20分）
各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2?Sn?1??an2?an． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
?an（Ⅱ）若数列{bn}满足b1?2，bn?1?2bn，数列{cn}满足cn???bn(n为奇数)(n为偶数)，数列{cn}的前n项
和为Tn，当n为偶数时，求Tn；
（Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的Tn设计了一个程序如图，但同学乙认为这个程序如果被执行会是
一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．
n：?0 n：?n?2 n2?24n Pn：?4No Tn?Pn：?2007？ Yes 打印n 结束 13．（本小题满分20分）
多面体ABCD?A1BC11D1的直观图，主视图，俯视图，左视图如下所示． DC1 1 A1 B1 a 2 D
C a2 A B a a2 a2 直观图 主视图
俯视图 （Ⅰ）求A1A与平面ABCD所成角的正切值； （Ⅱ）求面AA1D1与面ABCD所成二面角的余弦值； （Ⅲ）求此多面体的体积．
a a 左视图
14．（本小题满分20分）
????????AB如图，已知抛物线C:x?2py?p?0?与圆O:x?y?8相交于、两点，且OA?OB?0（O
222为坐标原点），直线l与圆O相切，切点在劣弧?AB（含A、B两点）上，且与抛物线C相交于M、
N两点，d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和．
(Ⅰ)求p的值；
(Ⅱ)求d的最大值，并求d取得最大值时直线l的方程．
y l N M A F O O x B