15．（本小题满分20分）
已知函数f(x)??x?sinx是区间??1,1?上的减函数．
（Ⅰ）若f(x)?t2??t?1在x?[?1,1] 上恒成立，求t的取值范围； （Ⅱ）讨论关于x的方程
lnx?x2?2ex?m 的根的个数． x2007年广州市高二数学竞赛参考答案
1．选B． 2．选A． 3．选D． 4．选B． 5．填1． 6．填
1． 47．填2008． 8．填???,2?．
9．填37． 810．填20．
11．解：（Ⅰ）f(x)?m?n?cos2?x?sin2?x?23cos?x?sin?x
?cos2?x?3sin2?x?2sin(2?x????0，∴函数f(x)的周期T?由题意可知
?6)．
2???． 2??T????,即?,解得0???1． 222?2故?的取值范围是{?|0???1}．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知?的最大值为1，?f(x)?2sin(2x??6)．
?f(A)?1，?sin(2A?而
?6)?1． 2?6?2A??6?13?5??，?2A???，?A?． 6663b2?c2?a222由余弦定理，知cosA?，?b?c?bc?3，又b?c?3，
2bc
联立解得??b?2?b?1或?．
?c?1?c?213bcsinA?． 222
?S?ABC?（或用配方法?(b?c)?3bc?313） b?c?3,?bc?2．?S?ABC?bcsinA?2212．解：（Ⅰ）当n?1时，由2?S1?1??a12?a1，解得a1?2， 当n?2时，由2?Sn?1??an2?an，得2?Sn?1?1??an?12?an?1． 两式相减，并利用an?Sn?Sn?1，求得an?an?1?1．
∴数列?an?是首项为2，公差为1的等差数列．∴an?n?1（n?N）．
*（Ⅱ）∵?bn?是首项为2，公比为2的等比数列，∴bn?2n．
24n当n为偶数时，Tn??a1?a3???an?1??2?2???2
??na1?an?1n4?1?2?n2?2n4n???2?1?． ???43221?4n2?24n（n为偶数）（Ⅲ）∵Pn?， 4设dn?Tn?Pn?4n474?2?n?（n为偶数）， 323∴d4?d6?d8?d10?2007?d12?d14??．且d2?2007， （利用数列的单调性或函数的单调性判断） ∴dn?2007，即Tn?P． n?2007（n为偶数）因此同学乙的观点正确．
13．（Ⅰ）解：由已知图可得，平面A1AB?平面ABCD，取AB中点H，连接A1H，
在等腰?A1AB中，有A1H?AB，则A1H?平面ABCD． ∴?A1AB是A1A与平面ABCD所成的角． ∵A1H?2AH，∴tan?A1AB?D1 C1 A1 B1 D A K H C B A1H?2． AH故A1A与平面ABCD所成角的正切值为2．
K是?AA1D1（Ⅱ）解法1：取AD中点K，连接D1K,KH，同理有D1K?平面ABCD，即?AH在平面ABCD内的射影．
取HK的中点M，取A1D1的中点N，连接MN，AM，AN，则?MAN就是面AA1D1与面ABCD所
成的二面角．
∵MN＝a，AM?MN12?22．即cos?MAN?． a，∴tan?MAN?AM34∴面AA1D1与面ABCD所成二面角的余弦值为
1． 3解法2：取AD中点K，连接D1K,KH，同理有D1K?平面ABCD，即?AHK是?AA1D1在平面ABCD内的射影，
在?AA1?AD1?1D1中，AA3152a,A1D1?a，S?AA1D1?a2，又S?AHK?a2，
8822设面AA1D1与面ABCD所成二面角的大小为?，则cos??∴面AA1D1与面ABCD所成二面角的余弦值为
S?AHK1?．
S?AA1D131． 3（Ⅲ）解：∵该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥，每个三棱锥的体积都为
11aa13????a?a． 322224∴此多面体的体积V?a?4?
14． (Ⅰ) 解：设点A的坐标为?x1,y1??x1?0?，
由于抛物线C和圆O关于y轴对称，故点B的坐标为??x1,y1?．
31353a?a． 246????????OB?0，?x1?(?x1)?y12?0， 即?x12?y12?0． ?OA??点A在抛物线C上，?x12?2py1． ??2py1?y12?0， 即y1??2p?y1??0．
?y1?0,?y1?2p．?x1??2p．?点A的坐标为??2p,2p?．
???2p???2p??8，又p?0，解得p?1． ?点A在圆O上，
(Ⅱ) 解法1：设直线l的方程为：y?kx?b，因为l是圆O的
M A 22y l N B F O O x N1 切线，则有k?0?0?bk?12?22，
M1 又b?0，则b?22k2?2．
即l的方程为：y?kx?22k2?2．
??y?kx?22k2?2,联立?
2??x?2y.即y2?2k2?42k2?2y?8k2?1?0．
22设M?xM,yM?,N?xN,yN?，则yM?yN?2k?42k?2．
????如图，设抛物线C的焦点为F，准线为L，作MM1?L,NN1?L，垂足分别为M1,N1． 由抛物线的定义有：
d?MF?NF?MM1?NN1?yM?yN?1?2k2?42k2?2?1．
令t?2k2?2，则2k2?t2?2．∴d?t2?4t?1??t?2??5．
2又∵?1?k?1，∴2?t?2． ∴当t?2时，d有最大值11．
当t?2时，k??1，故直线l的方程为y??x?4．
解法2：设直线l与圆O相切的切点坐标为?x0,y0?，则切线l的方程为x0x?y0y?8． 由??x0x?y0y?8,222 消去x，得y0y??16y0?2x0?y?64?0． 2?x?2y.216y0?2x0设M?xM,yM?,N?xN,yN?，则yM?yN?． 2y0如图，设抛物线C的焦点为F，准线为L，作MM1?L,NN1?L，垂足分别为M1,N1． 由抛物线的定义有：
216y0?2x0?1． d?MF?NF?MM1?NN1?yM?yN?1?2y022， ?x0?8?y0216y0?2?8?y0?2y0d??11?1616?1?2??1?16????5．
y0y0?y02?2?2?y0?22，?当y0?2时，d有最大值11．
当y0?2时，x0??2，故直线l的方程为y??x?4．
15．解：（Ⅰ）?f(x)??x?sinx在??1,1?上是减函数， ?f?(x)???cosx?0在??1,1?上恒成立， ????cosx,cosx?[cos1,1]， ???-1．
又?f(x)在??1,1?上单调递减， ?f(x)max?f(?1)????sin1, ∴只需???sin1?t2??t?1，
?(t?1)??t2?sin1?1?0 （其中??-1）恒成立． 令g(?)?(t?1)??t2?sin1?1(??-1)，
则???t?1?0,?t?1?0,??g??1??0.，即???t?1?t2?sin1?1?0. ??t?-1,?2?t2?t?sin1?0. 而t?t?sin1?0恒成立， ?t?-1．
（Ⅱ）令flnx1(x)?x,f2(x)?x2?2ex?m， ?f(x)?1?lnx1?x2，
当x??0,e?时，f1?(x)?0， ?f1(x)在(0,e]上为增函数； x?[e,??)时,f1?(x)?0,?f1(x)在[e,??)上为减函数， 当x?e时，f11(x)max?f1(e)?e． 而f2(x)?(x?e)2?m?e2，
∴函数f1(x)、f2(x)在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当m?e2?121e，即m?e?e时，方程无解． ②当m?e2?121e， 即m?e?e时，方程有一个根．
③当m?e2＜1e， 即m＜e2?1e时，方程有两个根．