15．解：（Ⅰ）?f(x)??x?sinx在??1,1?上是减函数， ?f?(x)???cosx?0在??1,1?上恒成立， ????cosx,cosx?[cos1,1]， ???-1．
又?f(x)在??1,1?上单调递减， ?f(x)max?f(?1)????sin1, ∴只需???sin1?t2??t?1，
?(t?1)??t2?sin1?1?0 （其中??-1）恒成立． 令g(?)?(t?1)??t2?sin1?1(??-1)，
则???t?1?0,?t?1?0,??g??1??0.，即???t?1?t2?sin1?1?0. ??t?-1,?2?t2?t?sin1?0. 而t?t?sin1?0恒成立， ?t?-1．
（Ⅱ）令flnx1(x)?x,f2(x)?x2?2ex?m， ?f(x)?1?lnx1?x2，
当x??0,e?时，f1?(x)?0， ?f1(x)在(0,e]上为增函数； x?[e,??)时,f1?(x)?0,?f1(x)在[e,??)上为减函数， 当x?e时，f11(x)max?f1(e)?e． 而f2(x)?(x?e)2?m?e2，
∴函数f1(x)、f2(x)在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当m?e2?121e，即m?e?e时，方程无解． ②当m?e2?121e， 即m?e?e时，方程有一个根．
③当m?e2＜1e， 即m＜e2?1e时，方程有两个根．