A点为光线的照射点，即光线通过空气和雨滴的交接点。一部分光线经过A点反射出去，其余光线通过雨滴而折射，α是入射角，β是折射角，当光线折射到B点，再B点光线又经过反射通过C点，最后在C点折射回到空气中，这一过程称为一次反射途径。
如图所示，只要A点在雨滴的左侧上方任何一点，它都在雨滴的下半部离开雨滴。虹的出现与光线离开雨滴时的方向折射情况有关，即与光线的折射的角度有关。若光线是沿着圆的直径方向进入雨滴，则入射角为0°，折射角也是0°，最后光线从雨滴的后面反射出来退出雨滴，从顺时针方向来看，总的折射角是180°。由于圆是对称的，因而只需考虑左上部的四分之一圆上的点即可，即对于
???????(180?2?)，??(0?,90)B。在A点经折射，折转了，在点经反射又折射了
最后在C点再折射?????，设F(?)为光线折射的角度，则：
F(?)?(???)?(180??2?)?(???)?180??2??4?
F'(?)?2?4d?d?
sin??Rsin?根据折射定理：入射角的正弦与折射角的正弦之比为常数，即有，称4cos?d?2??0cos??Rcos?Rcos?d?，令F'(?)?0，得R为折射率。因此
?cos?R???cos?2??sin??sin?cos??222??RR?1?cos??4cos?由 可以得到，即
R2?13 实验证明，光在空气中的速度大于在水中的速度。由于雨滴是水，折射率
d2?F??(?)??42??cos??0.506,??59.6,F(?)?137.5R?1.33，所以有d?。。并且有：
d2?3sin?d?d?2d2??cos??Rcos??sin???(Rsin?)()?Rcos?22d?4cos?。d?，d?d?，由于
?其中???,??(0,90)。
d2??0??2??F(?)?0F(59.6)?137.5d?所以，故，这表明在时，F(?)取得最小值。
这就是虹出现的位置，射入角为59.6°的光线为虹光线，42.5°=180°– 137.5°为
- 11 -
虹角。因此，雨滴在观测者的特定角度下，它将呈现较亮的光线。如果观测者处于顶角为二倍虹角的圆锥顶点处，这时用垂直于轴的平面去截圆锥，就会得到一个圆形的截面，每个锥表面上的雨滴都构成虹角，于是观测者就看到了天空中一条明亮的圆弧，这就是虹。
虹出现的高度依赖于太阳的高度。对于地面上的观察者来说，虹最多是个半圆。如果观察者能飞行到一定高度，虹则是一个完整的圆。
虹为什么有七种颜色呢，因为光线是一种电磁波，具有连续的波长光谱。波
?10A(1A?10m)，看到的是红色，波长在4000—4240A，看到的长在6470—7000
???是紫色，其它颜色的波长介于二者之间。而且，水的折射也依赖于所通过的光的颜色，红光的折射率为1.3318，紫色的折射率为1.3435。针对不同颜色的光，可以重复计算最小折转角。红光的最小折转角为137.7°，相对应的虹角为42.3°，紫光的最小折转角为139.4°，相对应的虹角为40.6°。也就是说，观测者在观看彩虹时，看到的红光圆弧略高于紫光圆弧，混有不同波长的阳光射在雨滴上，折射出各种不同颜色的圆弧，顺序为赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫。
我们构造的彩虹模型只是一个理论模型，相当于回归分析中设定的理论曲线。在实际观测中，我们会发现彩虹的高度是有时高有时低，长度是有时长有时短，亮度有时明有时暗，弧度是有时弯有时缓，更接近一幅散点图。很多年来，时有学者对其进行观测和计算。牛顿经过测算，更正了“平行光线”的假定，得出了太阳直径允许有0.5°的偏差，虹的宽度约为2.2°的结论，与实际观测结果基本一致。
虹是由阳光的第一次反射形成的，而霓则是由第二次反射形成的，建立模型的基本道理一样，只是更复杂一些。为避免言多语失，让物理学家看见笑话，恕不赘述。
读者看罢此回，可能产生不满， 统计是有用处，但彩虹用处不大。它不顶吃,不顶喝，远在天边，只有视觉享受。不如将有用的统计用于我们身边。笔者十分理解读者感受，我们不仅要将统计应用于我们身边，还要应用于我们身上。请看第四回：君欲减肥成功 统计授你秘诀。
- 12 -
第四回 君欲减肥成功 统计授你秘诀
“楚王爱细腰，宫中多饿死”。旧时的女儿家不仅痴情，而且无知，他们不知道不仅饿饭可以形成美丽腰身，而学会了统计学的有关知识后，不饿死也能使腰细得让“楚王”或白马王子喜爱。
——新编《人体投入产出模型》第五章
随着生活水平的提高，似乎出现了这样一个统计规律，恩格尔系数逐渐降低，人们身上的肉增长到临界值以上便形成了肥胖。目前，肥胖已成为社会关注的、特别是少女关注的一个重要问题。不仅从健康的角度，还是从审美的角度，人们越来越重视自己的身条儿。虽然，这些减肥食品中有蒙事儿的，众多减肥中心中有不健康的，但从人体所需能量的摄入和消费两个方面看，减肥的做法是有一定科学道理的。
古今中外，不少医学家、遗传学家、运动生理学家和追求瘦身的美女都探讨、研究和实践过减肥问题。笔者经研究认为，只有统计学进入这个领域后，才使得减肥问题变得更加科学和可测度。
古希腊哲学家亚里士多德有句名言：“运动太多和太少，同样地损伤体力，饮食过多和过少，同样地损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康”。但是，亚里士多德没有提出适度的数量界限，即运动量多大才适度，运动量和饮食量如何搭配才适度。同理，几千年后，伟人毛泽东提出了“忙时吃干、闲时吃稀”的科学道理，但他也没有界定，忙到什么程度吃干，闲到什么程度吃稀，吃干时可忙到什么程度，吃稀时可忙到什么程度的数量标准。统计学介入后，情况就不一样了。
20世纪50至70年代，日本香川女子营养大学香川绫博士和五明纪春博士在数据调查、测算和分析的基础上，对800多种经常食用的食品进行了分析，根据营养成分、热量、对肥胖的作用以及膳食搭配习惯等标志将其分成四组；又根据日本人的基本代谢、日常生活活动和运动对能量的消耗进行了数据分析，得出了相应的数据标准；绘制了不同性别、不同年龄组的人判定胖与瘦的相关图。同时，世界上许多国家的学者或研究机构也根据自己的人种，制定了有利于健康的膳食和运动的数量标准。我国生理科学会也修订了我国人民的每日膳食指南，刘来福和曾文艺教授提出了减肥模型。
- 13 -
为了维持人体正常生理功能的需要，我们要不断的补充能量。能量之源是营养素，或不严格地讲是食物。所以，我们一顿不吃饭就饿得慌。 人体需要多少能量，主要取决于三个因素：
一是维持人体基本代谢所需要的能量。基本代谢是指我们躺在炕上一动也不动，机体仍要进行的最低限度的必要活动，如保持体温、心跳、呼吸等。从理论上讲，基本代谢所需能量与人的体表面积正相关，在实际测度时，一般用人的体重代替体表面积。平均来说，成年男子每千克体重每小时平均消耗能量4200焦耳，成年女子为3500焦耳。
二是食物的特殊动力作用所消耗的能量，即将食物转化为人体所需能量而消耗的能量。不同种类的食物其特殊动力作用所消耗的能量不同，平均说来，食用普通的混合食物，其特殊动力作用所消耗的能量相当于基本代谢的10%。
三是人们从事劳动（包括体力劳动和脑力劳动）和各种活动（包括运动）所消耗的能量。不同种类的劳动和活动所消耗的能量不同，读者可参阅有关专业书籍。 如果我们日常摄入的能量等于上述人体的需要量，就能保持现有体重。如果摄入量小于需要量就要动用体内储存的能量而起到减肥效果，时间长了就会对身体产生不利影响，从腰变细直至饿死。如果摄入量大于需要量，多余的部分就会变成脂肪存储与皮肤下，久之，就使腰身变粗。
由于人体的脂肪使能量存储和提供的主要方式，也是减肥的主要目标，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重和减肥的标志。已知每千克脂肪可以转换为4.2×102焦耳的能量，记作：D=4.2×102焦耳/千克，称为脂肪的能量转换系数。 人体每天摄入的能量用A表示。
人体通过劳动和活动消耗的能量用R表示：R=rh（焦耳/日）。其中，r为每千克体重每小时劳动和活动所消耗的能量。人不可能一天24小时都在劳动或活动，h表示每天劳动和活动的小时数。
人体用于基本代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量用B表示，B=24b（焦耳/日）。其中，b为每千克体重每小时所消耗的能量，因为人体每时每刻都在进行基本代谢，所以要乘以24小时。
人，不可能一口吃成胖子，身上的肉是一天天攒起来的。同理，减肥也是个慢功，不可能一天就使得小蛮腰变成小细腰。所以体重是时间t的函数W(t)。因而，任何时间段内（t，t+△t），由于体重改变所引起的人体内能量变化应该等于这段时
- 14 -
间内摄入的能量与消耗的能量之差，即：
[W(t+△t )－W(t)]D=[A－(B+R)W(t)]△t (1) 以△t除以式（1）两端，并令△t→0取极限，可得：
dw/dt=a－dw (2) 其中：a=A/D，d=(B+R)/D。 式(2)就是减肥的理论模型。
设t=0位减肥模型启动的初始时刻，这时人的体重为w(0)=w0，以此为初始条件可求出式(2)的解为：
w(t)=W(0)e-dt+a/d(1-e-dt) (3) 在式(3)中，设a=0，即停止进食，从而无能量摄入，这时体重的减少完全是由于体内脂肪的消耗而产生，于是有[W(0)-W(t)]/W(0)=1-e-dt ，1-e-dt 表示在时间(0，t)内体重减少的比率，称为(0，t)内的体重消耗率。特别当t=1时，1-e-dt 给出了单位时间的体重消耗率。
a/d是个重要指标。由于a=A/D表示能量的摄入而增加的体重，而d=(B+R)/D表示能量的消耗而减少的体重，于是a/d就表示通过能量的摄取对每1%的体重消耗所获得的体重的补充量。
可以证明，对于式(2)来说，当且仅当W*=a/d A与R如何对W* 产生影响呢，显然有： A= W*B+ W*R (4) 式(4)是R－A坐标系中过(-B，0)点，斜率为W* 的直线。 我们知道，人通过饮食摄入的能量不能低于维持人体正常生理功能所需要的能量，因而减肥指标存在着一个下限W1，当W*〈W1时，表明能量摄入过低，不能维持人的正常生理功能所需，时间长了就有饿死的危险，我们称W1为减肥临界指标。 - 15 -