人们为减肥所采用的各种劳动和活动也有一个人体所能承受的范围，因而能量消耗存在着一个上限R1，否则虽没饿死，有可能累死，我们记为0 L0 B W0B -B 0 W1B C R1 A区表明能量的摄取量高于体重为W0时的消耗量W0(B+R)，这时体重不会从W0减少，称为非减肥区。日本相扑运动员增肥时，一定经过这个区。 C区表明能量的摄取是A低于体重为W1时的消耗是W1(B+R)，因为W1为减肥临界指标，所以C区为危险减肥区，饿死的美女都落在这个区。 只有B区所表示的能量摄取量A与劳动和活动消耗量R的组合才能实现有效的减肥，故称B区为有效减肥区。上图还表明，活动量不变，只是一味节食，或饭量不变，只是一味加大活动量，都不能产生理想的减肥效果，两个因素必须协调。 上述减肥模型是从总体上构成的，忽略了年龄、性别、遗传、健康状况等个体差异。但减肥是个对症下药的个体行为，而个体差异对减肥的影响较大，有的人有遗传，是祖传的胖子，有的人吃多少东西都胖不起来，有的人喝凉水都长肉。因此，读者如果有兴趣，可以对自己的减肥状况进行一段时间的观察，记录下自己饮食的种类和数量，劳动和活动的种类和数量，将其核算成以焦耳或卡路里为单位的能量，利用减肥模型估计出自己的参数，科学有效地指导减肥。 本文的目的是想给大家提个醒儿，不要盲目减肥，要树立科学的减肥观念。可能会有读者责问：“按照你们故事里教的秘诀，不但减肥没有成功，反而更胖了，怎么办”。好办，笔者再给您支一招儿，去学唱歌，身宽体胖底气足，可能会产生音箱的效果，特别适合唱美声。请看下一回，统计与音乐的交融，科学与艺术的平均。 L1 A - 16 - 第五回 统计与音乐的交融 科学与艺术的平均 音乐是人类灵魂从计数中感受到而没有意识到这是计数的那种快乐。 ——莱布尼兹 声音是由物体的振动产生的，不论是音乐，还是噪声；不论是嘹亮悦耳，富有穿透力的抒情男高音，还是摇头晃脑，五音不太全的通俗女杂音儿，都是从振动源，如嗓子、胸腔等，在三维空间上向外行进。当这些振动到达我们的耳膜时，耳膜的振动就把信息传提到我们的脑中，于是造成了听觉。通俗地讲，音乐就是高于20赫兹，我们的耳朵能感受到的那种美好的动静儿。 为什么音乐有高音和低音呢，一般来讲，这和发声体的振动频率有关。如何描述音乐中声音的高度呢，最开始用的是由七个阿拉伯数字组成的简谱，后来发展成由小蛤蟆骨朵组成的五线谱。简谱是一位法国修道士苏埃蒂于1665年首先使用的。上世纪初我国留学生沈心工、李叔同等从日本引入我国的。 七个阿拉伯数字加上休止符、节拍等音乐符号，进行各种排列组合便形成了乐谱。十个阿拉伯数字加上各种数学符号便可组成数学和统计学的研究内容。但音乐与统计学不仅仅是形似。若干世纪以来，音乐与数学、统计学一直被联系在一起。所不同的事，从理论上讲十个音符比七个音符能组合出更丰富的乐章。 声乐的奠基人、德国物理学家亥姆霍兹说：“音调、响度和音色是音乐的三个主观量。”关于音乐这三大要素的研究与统计学有着不解之缘。 音调与频率有密切的关系，但他们又不是按严格的比例对应的。早在古希腊、毕达哥拉斯学派就发现，频率每提高一倍，音调又回到同一个调，但提高了八度，略有偏低，还要把频率再提高一点，以适应人的听觉。同理，低音部分则听感偏高，又需要将频率调低一点。 两个相差八度的音之间可再划分若干个音，它们按顺序排列起来形成音阶。有七个音的叫七声音阶，有十二个音的叫半音阶，还有五个音的叫五声音阶。五声音阶比七声音阶少了4和7两个半音。五声音阶现已不常用，它在我国公元前21世纪就产生了。所以现在形容一个人唱歌音不准时，常称他五音不全。 从一个音出发，如何生出音阶中的各个音，称为“生律方法”。“生律方法”有多种，不同的“生律方法”成为不同的“律制”。用不同的“律制”构成音阶，便形成不同的“音律”。“音律”中的每个音称为“律”。常用的“音律”有十二平均 - 17 - 律，五度相生律和纯律。钢琴的键盘就是按十二平均律的原理制作的。五度相生律现已不多见，有时在弦乐独奏时还能用到。纯律主要用于无伴奏合唱。 在不同“律制”中，两个音之间的距离称为音程。由于音调与频率有大体上对应的比例关系，因而，音程可以用频率比来表示。不同的“生律方法”就是用不同的方法确定频率比。确定频率比要用到统计技术。古希腊，人们就发现可以把音乐归结为数与数之间的比例关系。他们发现弦所发出的声音取决于弦的长度，两根绷得一样紧的弦，若一根是另一根的两倍，就会产生谐音，即两个音相差八度。如果两根弦长的比是3∶2，则发出另一种谐音，两个音相差五度，等等。也就是说，产生每一种谐音的多根弦的长度都成整数比。因而，他们提出了音乐的基本原理是数量比的原理。音乐的和谐，如多声部合唱等各种不同的音调按一定数量上的比例所组成。在此基础上，后人研究并提出了美的比例关系。设有两个正整数p、q，其算术平均值A=(q+p)/2，几何平均值G=√pq，调和平均数H=2pq/(p+q)，他们之间在音乐中的关系为：A：G=G：H，p：A=H：q，前者被称为完全比例，后者被称为音乐比例。 中国是崇尚礼乐的国家，历朝历代对乐律的研究久盛不衰，而且自觉或不自觉地讲乐律研究与数量研究联系在一起。远古时代，人们创造出一种像排箫的编管乐器，不同长度的管发出不同的音，其外形与直方图非常接近。这种乐器最初能奏出含有三个音组成的五声音阶。到了商代，在一个近似的八度中确定十二个律，并在十二个律中选取五个或七个音组成的音阶体制才确定下来。到了春秋时期，经过计算，我国创造了一种“三分损益法”的生律方法，使音乐变得更加感人悦耳。 但是，在这种律制中，任意两律制间的距离或大或小，例如，以黄种为基音，则比它高八度的清黄钟的音只能约略的比基音高一倍，总存在着一个音差。由于音差的存在，在转调时就比较困难。按这种律制制造的乐器只能奏出某种调式，如需转调就要换乐器，很麻烦。为了消除音差，使乐器便于转调，古代的中外音乐家都没有什么办法。1584年，我国明代科学家、算学家朱载堉在其《律学新说》中，提出了十二平均律的计算方法，才解决了这个难题。 十二平均律运用的统计学中几何平均的思想，首先假定高低八度之间的十二音，每相邻两个音的频率比基本相等，设这十二个音的频率依次为a0 ，a1??a12, 朱载堉发现他们基本上构成一个等比数列，如图所示： - 18 - 公比q=ai+1/ai 1 2 3 4 5 6 7 i a0 (i=1，2，12)。朱载堉算得q=122。事实上，这时 a12=a0q12=a0(122)12=2a0 或者，设第i个音的弦长为Ti，则 Ti/Ti+1=1/q(i=1，3??，12) T12=T0(1/q)12=T0(1/122)12=T0/2 即a12的弦长为a0的弦长的1/2。 十二平均律解决了音差的问题，使转调变得非常方便。 声音使物体振动的频率造成的，因而十二平均律平均的对象是比率。对比率进行平均最适合的方法是几何平均，如平均利率，平均速度都要用几何平均法，现在开来这已是统计学的一个常识，但在1500年前，我国的算学家已经在音律的研究中能正确使用这种方法，仍令笔者惊讶。 18世纪以后，随着数学、统计学的发展，除了制定音律用到数学和统计学得知识以外，存在于音乐中的数量规律的到了更深刻的认识。瑞士数学家、物理学家、最大概似原则的最初提出者，丹尼尔·贝努里，1739年用概率技术进行数学的讨论并用于空气运动发生的乐器研究，在对弦乐器的研究中得出了二阶常微方程。而后来他又与大数学家欧拉等人对各种管乐器进行研究，设计了多变量的、高阶的偏微分方程。 对音调、音量（响度）和音色三大音乐要素进行全面考察和研究，19世纪法国大数学家傅立叶做出了辉煌贡献。他证明了所有的乐音，包括器乐和声乐，都能用曲线来描述。音调与曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，音色与周期函数的形状有关。由于管弦乐器的管长或弦长与频率有对应关系，频率的变化则会呈现出某种曲线。例如，平台钢琴的键的外形轮廓呈现出指数曲线形状，而风琴的管呈现的是地道的直方图和近似的正态分布。 随着计算机进入音乐世界，音乐、数学、统计学的融合达到了空前的完美。许a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 - 19 - 多乐器的设计和制作、作曲、歌手的包装等，大都使用统计技术将他们产生的实际声音用图像显示出来，有点像医学中的心电图等。而后，再与用数学描述的理论的或理想的声音图像进行对比，最后，尽可能消除偏差，以达到更接近理论值的艺术效果。 严谨的统计不仅融入了浪漫的音乐，逻辑思维的统计已融入了形象思维的文字。请看下一回：文学巨作《红楼梦》 我给雪芹改文章。 第六回 文学巨作《红楼梦》 我给雪芹改文章 开篇不谈《红楼梦》，读尽诗书也枉然，曹公若懂概率论，不让马尔可夫链。 ——国际红学大会未入选论文 俄国著名数学家马尔可夫（1865-1922），在对俄语字母序列的研究中，提出了马尔可夫随机过程，后来扩展成统计学的一个分支，对现代统计学的发展产生了深刻影响。语言结构中所蕴藏着的统计规律，成了马尔可夫创造性思想的源泉。作为人类语言和文学发展的新方向，马尔可夫的思想和工作在统计学与语言文学的结合上具有开创意义。 而后，到了20世纪中期，文献计量学、树立语言学、计算风格学相继诞生。统计学进入了一个全新的领域。我国学者也开始涉足这方面的研究。 本文作者之一，袁卫教授1989年在其专著《统计推断思想》一书中，给我们讲述和分析了曹雪芹一个鲜为人知的故事。 在《红楼梦》第六十三回“寿怡红群芳开夜宴死金丹独艳理亲丧”中宝玉过生日，晚上请来了林黛玉、史湘云、薛宝钗、李纨、探春、薛宝琴等在怡红院玩骰子抽签的游戏。大家围成一圈，按照摇出骰子的点数数到谁，谁就从签筒中抽出一签，按照签上要求或罚作诗，或罚喝酒。按照电视连续剧《红楼梦》编剧周雷的考证。 其位顺序见图1： 开始时，由晴雯第一个摇装有四个骰子的罐儿。摇毕一看，是为5点，即3个1点和1个2点。然后，由摇骰子本人晴雯算起，按逆时针方向数至第5人是宝钗。由宝钗抽签、再摇、再数??依次类推。见表1： - 20 -