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第三十八讲 集合与简易逻辑§17．1集合
我们考察某些事物的时候，常常要考虑由这些事物组成的群体，我们把这个群体叫作集合．组成某个集合的事物，叫作这个集合的元素．通常用大写字母A，B，C?等表示集合，小写字母a，b，c，?等表示元素．如果m是集合A的元素，就说m属于A，记作m∈A．如果n
(i)你的家庭中所有成员组成一个集合，你和你的家庭中的其他各个成员都是这个集合中的元素．
(ii)自然数全体1，2，3，?组成一个集合(通常把它叫作自然数集)．
(iii)如果A，B是平面上两个不同的点，那么A，B两点所确定的直线上的点组成一个集合，这条直线上每个点都是这个集合的元素．
总之，集合是数学中一个最基本、最常用的概念，下面进一步给同学们介绍一些关于集合的基本知识． 1．集合的描述方法 (1)列举法
当一个集合所含元素个数较少时，一个最简单的描述方法就是把它所含的每个元素都列举出来，这叫列举法．用列举法表示集合，通常是将这个集合的每个元素一一填写在｛｝中，每个元素之间用逗点隔开．填写集合的元素时，与元素的排列次序无关．例如： (i)由a，b，c，d，e五个小写字母组成的集合A，记作
A=｛a，b，c，d，e｝，
也可记作
A=｛b，a，c，d，e)．
(ii)由小于40的质数组成的集合B，记作
B=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37｝．
(iii)平方等于1的有理数集合C，记作
C=｛1，-1｝．
(iv)三条直线l1，l2，l3组成的集合D，记作
D=｛l1，l2，l3｝．
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(2)特征性质描述法
当一个集合所含元素较多时，用列举法描述很麻烦，这就要用到特征性质描述法． 所谓特征性质是指集合中元素的特征性质，即：(i)这个集合中每个元素都具有这些性质；(ii)具有这些性质的事物都是这个集合的元素． 例如，集合=｛1,-1｝用特征性质描述法表示就是
A=｛x│x=1｝，
或者
A=｛x││x│=1｝．
全体偶数组成的集合B，用特征性质描述法表示就是
B=｛x│x是能被2整除的整数｝，
或者
B=｛2n│n是整数｝．
全体奇数组成的集合C，用特征性质描述法表示就是
C=｛x│x是不能被2整除的整数｝，
或者
C=｛2n＋1│n是整数｝， C=｛2n-1│n是整数｝．
一般地，用特征性质α表示集合A的形式是：
A=｛x│x具有性质α｝．
2．集合之间的关系和运算 (1)包含与子集
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(i)你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是：前者是后者的子集，后者包含前者． (ii)设集合
例1 设A=｛1，2，3，4｝，试写出A的所有子集．
｛1，3｝，｛1，4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛2，3，4｝，｛1，3，4｝，｛1，2，3，4｝． (2)交集运算
对于给定的集合A，B，由它们的公共元素所构成的集合叫作集合A与B的交集．我们用A∩B表示A，B的交集(图2-88)．例如 (i)如图2-89，设
A=｛x│x是12的正因数｝，
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B=｛x│5＜x＜13，x是整数｝，
则
A=｛1，2，3，4，6，12｝，B=｛6，7，8，9，10，11，12｝． 所以 A∩B=｛6，12｝．
(ii)设l1，l2是平面上两条不同的直线，则l1∩l2就是由它们的交点组成的集合． 如果l1与l2相交于一点P，则l1∩l2=｛P｝(图2-90)；
(3)并集运算
对于给定的两个集合A，B，把它们所含的元素合并起来所构成的集合，叫作集合A，B的并集，我们用符号A∪B表示A，B的并集(图2-92)．例如
(i)设M，N分别表示你班上男生、女生的集合，那么M∪N就是你班上同学的集合． (ii)设
A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛2，3，4，5，6｝，
则 A∪B=｛1，2，3，4，5，6，7，9｝．
注意 在求上述集合A，B的并集时，虽然在A，B中都有3和5，但在A∪B中，3，5只取一次．
(iii)设E=｛x│x是实数，且x≥4｝， F={x│x是实数，且x≤-4}，G={x│x≥16}．
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则 E∪F=G．
一般地说，如果α，β分别是集合A，B的特征性质，即
A={x│x具有性质α} ，B=｛x│x具有性质β｝，则A∪B就是那些具有性质α或性质β的元素组成的集合，也就是
A∪B=｛x│x具有性质α或β｝，
或者
A∪B={x│x∈A或x∈B}．
例2 设
A={x│x是12的正因数}，B={x│x是18的正因数}，
C={x│0≤x≤5，且x∈Z}．
求：(1)A∩B∩C；(2)A∪B∪C．
解 根据已知条件，用填文氏图各区域的元素的方法来解决(如图2-93(a)，(b)). (1)A∩B∩C=｛1，2，3｝；
(2)A∪B∪C=｛0，1，2，3，4，5，6，9，12，18｝．
例3 设A={1，a，a} ，B={1，a，b)，假定A，B中的元素都是整数，并且A∩B=｛1，3｝，A∪B=｛1，a，2a，3a｝，求a，b的值． 解 因为A=｛1，a，a｝，B=｛1，a，b｝，所以
A∩B＝｛1，a｝．
已知A∩B=｛1，3｝．所以a=3．又由于
A∪B=｛1，a，b，a｝=｛1，a，2a，3a｝=｛1，3，6，9｝，所以b=6．
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