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§17．2简易逻辑
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逻辑一词是LOGIC的音译，它是研究思维法则的一门学科．数学和逻辑的关系非常密切，在此，对逻辑知识做一些初步介绍． 1．推出关系
如果设A={x│x是4的倍数}，B={x│x是2的倍数}，则A中元素具有性质α——4的倍数；B中元素具有性质β——2的倍数．我们知道：如果某元素x是4的倍数，那么x一定是2的倍数，即具有性质
一般地说，如果具有性质α的元素也具有性质β，我们便说由α推 下面再举一个例子．
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2．命题和证明 (1)命题和逆命题
人们在思维活动中，经常要对客观事物做出判断．例如： (i)雪是白的；
(ii)如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2； (iii)3+4=6；
上述所列都是对客观事物做出判断的语句．人们对客观事物的情况做出判断可能是正确的(真)，也可能是错误的(假)．我们把肯定或否定的判断语句叫作命题．上述语句(i)，(ii)，(iii)，(iv)都是命题．
关于命题的真假性，有些容易判断，如(i)，(ii)是真命题，(iii)是假命题．但对(iv)的真假性就不是显然可判断的．可通过设x=1，y=0(x＞y)，那么
因此，命题(iv)为假命题(注意：证明一个命题为真命题，必须通过逻辑推演，但要证明一个命题为假命题只须举出一个反例即可)．
数学命题具有多种形式，经常采用的命题形式是“若α，则β”，“如果α，那么β”． 命题“若α，则β”或是真命题，或是假命题，二者必居其一．“若 当由α不可能推出β时，“若α，则β”便是假命题．
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在命题“若α，则β”中，α叫作这个命题的条件，β叫作这个命题的结论．如果将命题“若α，则β”的条件和结论互换，就得到一个新命题“若β，则α”，这两个命题之间具有互连关系，其中一个叫作原命题时，则另一个命题就叫作这个原命题的逆命题． 当“如果α，则β”为真命题时，它的逆命题“如果β，则α”不一定是真命题．例如：
(i)“如果2×3=6，那么6÷3=2”是真命题．它的逆命题“如果6÷3=2，那么2×3=6”也是真命题．
(ii)“若a=0并且b=0，则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0并且b=0”就不是真命题．
(iii)“如果∠1，∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它的逆命题“∠1=∠2，那么∠1，∠2是对顶角”就是假命题．
(2)证明
我们要说明“若α，则β”是真命题时，以什么方式来推证呢？最常用的基本格式就是推出关系的传递性，即： 如果
那么
例如，(i)若
∠1和∠2是对顶角，① 对顶角相等，② 则 ∠1=∠2．③ (ii) 张三是人，① 凡人必有死，②
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所以张三必有死．③
上述推理格式叫作三段论式，推理中的①，②是两个前提条件，①叫小前提，②叫大前提，③是由①，②推出的结论．
实际上，三段论式和推出关系的传递性是一致的．例如“对顶角相等”的证明过程，可以像下面这样来理解．
已知：∠1是∠2的对顶角(图2-98)，求证：∠1=∠2．
证
从上述证明过程可知，要证明“若α，则β”，我们先设法找出一
应用已经被确认的正确命题和已知条件作根据，经过推演，导出某一命题成立，这种方法就叫作演绎推理法(简称演绎法)．演绎法是证明数学问题的重要方法．
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