第十讲 电磁感应定律的综合应用
1.考纲解读
考纲内容
1．电磁感应中的电路问题
2．电磁感应中的图象问题
能力要求
1、理解安培力做功的实质。
考向定位
电磁感应定律的综合应用主要表现在以下几方面：1．电磁感应问题与电路问题的综合，解决这类电磁感应中的电路问题，一
2．能熟练掌握电方面要考虑电磁学中的有关规律如右手定则、法拉第电磁感应定磁感应中的电路问律等；另一方面还要考虑电路中的有关规律，如欧姆定律、串并
3．电磁感应题、图象问题、力与联电路的性质等，有时可能还会用到力学的知识．2．电磁感应中中的力与运动问运动问题的分析方法切割磁感线的导体要运动，感应电流又要受到安培力的作用，因题
4．电磁感应中的能量及动量问题
与技巧。
此，电磁感应问题又往往和力学问题联系在一起，解决电磁感应中的力学问题，一方面要考虑电磁学中的有关规律；另一方面还要考虑力学中的有关规律，要将电磁学和力学的知识综合起来应用．?
2．考点整合
考点一 电磁感应中的图像问题
电磁感应中常涉及 、 、 和 随时间t变化的图像，即B-t图像、Φ-t图像、E-t 图像和I-t图像等。对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况还常涉及感应电动势E和感应电流I随线圈位移x变化的图像，即E-x图像和I-x图像。这些图像问题大体上可分为两类：由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像，或由给定的有关图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量。不管是何种类型，电磁感应中的图像问题常需利用 、 和 等规律分析解决。
特别提醒
在分析电磁感应中的图像问题时，如果是在分析电流方向问题时一定要紧抓住图象
的斜率，图象斜率的正负代表了电流的方向；另外还要注意导体在磁场中切割磁感线
时有效长度的变化与图象相结合的问题在近几年的高考中出现的频率较高，在分析这
类问题时除了运用右手定则、楞次定律和法拉第电磁感应定律等规律外还要注意相关
集合规律的运用。 [例1]、(08上海)如图12-1-1所示，平行于y轴的导体棒以速度v向右匀速直线运动，经过半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，导体棒中的感应电动势e与导体棒位置x关系的图像是（ ）
解析：在x=R左侧，设导体棒与圆的交点和圆心的连线与x轴正方向成θ角，则导体棒切割有效长度L=2Rsinθ，电动势与有效长度成正比，故在x=R左侧，电动势与x的关系为正弦图像关系，由对称性可知在x=R右侧与左侧的图像对称。
答案：A。
[规律总结]处理图象问题，可从以下六个方面入手分析：一要看坐标轴表示什么物理量；二要看具体的图线，它反映了物理量的状态或变化；三要看斜率，斜率是纵坐标与横坐标的比值，往往有较丰富的物理意义；四要看图象在坐标轴上的截距，它反映的是一个物理量为零时另一物理量的状态；五要看面积，如果纵轴表示的物理量与横轴表示的物理量的乘积，与某个的物理量的定义相符合，则面积有意义，否则没有意义；六要看（多个图象）交点． 考点二、电磁感应与电路的综合
关于电磁感应电路的分析思路其步骤可归纳为“一源、二感、三电”，具体操作为： 对于电磁感应电路的一般分析思路是：先电后力，具体方法如下： ①先做“源”的分析：分离出电路中由电磁感应所产生的 ，并求出电源的 和电源的 。在电磁感应中要明确切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路相当于 ，其他部分为 。接着用右手定则或楞次定律确定感应电流的 。在电源（导体）内部，电流由 （低电势）流向电源的 （高电势），在外部由正极流向负极。
②再做路的分析：分析电路的结构，画出 ，弄清电路的 ，再结合闭合电路欧姆定律及串、并联电路的性质求出相关部分的 ，以便计算 。
③然后做力的分析：分离力学研究对象（通常是电路中的杆或线圈）的受力分析，特别要注意 力与 力的分析。
④接着运动状态的分析：根据力与运动状态的关系，确定物体的 。 ⑤最后做能量的分析：找出电路中 能量的部分结构和电路中 能量部分的结构,然后根据能的转化与守恒建立等式关系.
【例2】如图12-1-2所示，竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.5 T，并且以
?B=0.1 ?tT/s在变化，水平轨道电阻不计，且不计摩擦阻力，宽0.5 m的导轨上放一电阻R0=0.1 Ω的导体棒，并用水平线通过定滑轮吊着质量M=0.2 kg的重物，轨道左端连接的电阻R=0.4 Ω，图中的l=0.8 m，求至少经过多长时间才能吊起重物.
解析：由法拉第电磁感应定律可求出回路感应电动势：
E=
???B ① ?S?t?t由闭合电路欧姆定律可求出回路中电流I=
E ②
R0?R由于安培力方向向左，应用左手定则可判断出电流方向为顺时针方向（由上往下看）.再根据楞次定律可知磁场增加，在t时磁感应强度为： B′ =（B＋
?B·t） ③ ?t此时安培力为：F安=B′Ilab ④； 由受力分析可知 F安=mg ⑤ 由①②③④⑤式并代入数据：t=495 s [规律总结]错解分析：（1）不善于逆向思维，采取执果索因的有效途径探寻解题思路；（2）实际运算过程忽视了B的变化，将B代入F安=BIlab，导致错解.
考点三、电磁感应中的动力学问题：
感应电流在磁场中受到 的作用，因此电磁感应问题往往跟 学问题联系在一起。解决这类问题需要综合应用电磁感应规律（法拉第电磁感应定律）及力学中的有关规律（牛顿运动定律、动量守恒定律、动量定理、动能定理等），分析时要特别注意 、速度v达 的特点。
电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，从而影响导体棒的受力情况和运动情况。这类问题的分析思路如下：
I?确定电源（E，r） 临界状态
EF=BIL
R?r感应电流
运动导体所受的安培力
合外 力
F=ma v与a方向关系
不为零 a变化情况 运动状态
处于平衡状态 为零 态
[例3]如图12-1-3所示，电阻不计的平行金属导轨MN和OP放置在水平面内.MO间接有阻值为R=3Ω的电阻.导轨相距d=lm，其间有竖直向下的匀强磁场，磁感强度B=0.5T.质量为m=0.1kg，电阻为r=lΩ的导体棒CD垂直于导轨放置，并接触良好，现用平行于 MN的恒力F=1N向右拉动CD，CD受摩擦阻力f恒为0.5N.求
(1)CD运动的最大速度是多少?
(2)当CD达到最大速度后，电阻R消耗的电功率是多少? (3)当CD的速度为最大速度的一半时，CD的加速度是多少? 解析：（1）对于导体棒CD，由安培定则得：F0=BId
根据法拉第电磁感应定律有：E=Bdv
在闭合回路CDOM中，由闭合电路欧姆定律得：I=E/(R+r) 当v=vmax时，有:F=F0+f
由以上各式可解得：vm=(F-f)(R+r)=8m/s
B2d2（2）当CD达到最大速度时有E=Bdvmax，则可得Imax=Emax/(R+r) 由电功率公式可得Pmax=I2maxR
222B由以上各式可得电阻R消耗的电功率是：PRm?dVmR?3W (R?r)2vm 1分 2回路中电流强度为：I=E//(R+r) ，CD受到的安培力大小F??BId
(3)当CD的速度为最大速度的一半时E￠=Bd 由牛顿第二定律得：F合=F-F/-f，代入数据可解得：a=2.5m/s2 [规律总结]分析综合问题时，可把问题分解成两部分——电学部分与力学部分来处理．电学部分思路：先将产生电动势的部分电路等效成电源，如果有多个，则应弄清它们间的（串、并联或是反接）关系．再分析内、外电路结构，作出等效电路图，应用欧姆定律理顺电学量间的关系．力学部分思路：分析通电导体的受力情况及力的效果，并根据牛顿定律、动量、能量守恒等规律理顺力学量间的关系．分析稳定状态或是某一瞬间的情况，往往要用力和运动的观点去处理．注意稳定状态的特点是受力平衡或者系统加速度恒定，稳定状态部分（或全部）物理量不会进一步发生改变．非稳态时的物理量，往往都处于动态变化之中，瞬时性是其最大特点．而“电磁感应”及“磁场对电流的作用” 是联系电、力两部分的桥梁和纽带，因此，要紧抓这两点来建立起相应的等式关系．
考点四、电磁感应中的能量问题：
电磁感应的过程实质上是 的转化过程，电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到 力的作用，因此，要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服 力做功。此过程中，其他形式的能量转化为 能。“外力”克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为 能。当感应电流通过用电器时， 能又转化为其他形式的能量。安培力做功的过程是 的过程。安培力做了多少功就有多少电能转化为其他形式的能。解决这类问题的方法是：
1. 用法拉第电磁感应定律和紧接着要学到的楞次定律确定感应电动势的大小和方向。 2. 画出等效电路，求出回路中电阻消耗电功率的表达式。
3. 分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变所满足的方程。
[例4]、如图12-1-4所示，abcd为静止于水平面上宽度为L而长度很长的U形金属滑轨，bc边接有电阻R，其它部分电阻不计。ef为一可在滑轨平面上滑动、质量为m的均匀金属棒。今金属棒以一水平细绳跨过定滑轮，连接一质量为M的重物。一匀强磁场B垂直滑轨面。重物从静止开始下落，不考虑滑轮的质量，且金属棒在运动中均保持与bc边平行。忽略所有摩擦力。则：
（1）当金属棒作匀速运动时，其速率是多少？（忽略bc边对金属棒的作用力）。
（2）若重物从静止开始至匀速运动时下落的总高度为h，求这一过程中电阻R上产生的热量。
解析：视重物M与金属棒m为一系统，使系统运动状态改变的力只
有重物的重力与金属棒受到的安培力。由于系统在开始一段时间里处于加速运动状态，由此产生的安培力是变化的，安培力做功属于变力做功。 系统的运动情况分析可用简图表示如下：
??通过棒的感应电流I↑???棒的速度v↑???棒中产生的感应电动势E↑?安合??????????棒所受安培力F棒所受合力F棒的加速度a↓ 安?合BLvE/RBILMg?FF/(Mm?)g?F?0当a=0时，有m，解得v?mgRB/L 安题设情况涉及到的能量转化过程可用简图表示如下： 重力系统等速时的动能 M的重做功 力势能 安培力做负功 电能 电流做功 能能 被转化的动能
由能量守恒定律有M gh?(M?m)v/2?Q解得Q ?Mg[h?(M?m)MgR/2BL]【方法规律】从求焦耳热的过程可知，此题虽属变化的安培力做功问题，但我们不必追究
变力、变电流做功的具体细节，只需弄清能量的转化途径，用能量的转化与守恒定律就可求解。在分析电磁感应中的能量转换问题时常会遇到的一个问题是求回路中的焦耳热,对于这个问题的分析常有三种思路：①、若感应电流是恒定的，一般利用定义式Q=I2Rt求解。②、若感应电流是变化的，由能的转化与守恒定律求焦耳热（不能取电流的平均值由Q=I2Rt求解）。③、既能用公式Q=I2Rt求解，又能用能的转化与守恒定律求解的，则可优先用能的转化与守恒定律求解。
★二、高考热点探究
[真题1]（2006广东高考）如图12-3-5所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的“U”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为m的匀质金属杆A1和A2，开始时两根金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直．设两导轨面相距为H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为r．现有一质量为m/2的不带电小球以水平向右的速度v0撞击杆A1的中点，撞击后小球反弹落到下层面上的C点．C点与杆A2初始
244222位置相距为S．求：
?回路内感应电流的最大值；?整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量；?当杆A2与杆A1的速度比为1∶3时，A2受到的安培力大小．
[剖析] ?对小球和杆A1组成的系统，由动量守恒定律得： 又 s＝vt ②H?mmv0?mv1?v ① 22g121)④ gt ③ ①②③三式联立解得： v1?(v0?s22H2回路内感应电动势的最大值E?BLv1 ⑤ 回路内感应电流的最大值 I?④⑤⑥三式联立解得： I?B(v0?sg/2H)4rE ⑥ 2Lr
?对两棒组成的系统，由动量守恒定律得：mv1?2mv2 由能量守恒定律，整个运动过程中感应电流最多产生热量为：Q?11122mv1??2mv2?m(v0?sg/H)2 2216??mv2? 又v2?:v1??1:3，E??BLv1??BLv2?，I???由动量守恒定律得： mv1?mv1E? 2Lr F2?BLI? A2受到的安培力大小 F2?B2L(v0?sg/2H)8r
[名师指引]此题将电磁感应、电路、动量及能量守恒、受力分析及平抛运动等知识巧妙地结合在一起，既考查了稳定状态，又考查了稳定前的瞬时分析，是一道经典好题．本题是广东卷将不同考点的知识有机的组合在一起的典例，也代表着广东卷命题的一个新趋势新特点，考生应在平时多加训练，培养将题目还原的能力。
[新题导练]如图12-1-6所示，一个很长的竖直放置的圆柱形磁铁，产生一个中心辐射的
k磁场（磁场水平向外），其大小为B?（其中r为辐射半径），设一个
r与磁铁同轴的圆形铝环，半径为R（大于圆柱形磁铁的半径），而弯成铝环的铝丝其横截面积为S，圆环通过磁场由静止开始下落，下落过程中圆环平面始终水平，已知铝丝电阻率为?，密度为?0，试求： （1）圆环下落的速度为v时的电功率 （2）圆环下落的最终速度 （3）当下落高度h时，速度最大，从开始下落到此时圆环消耗的电能.
答案：（1）由题意知圆环所在处在磁感应强度B为 B?k ① Rl ③ S圆环的有效切割长度为其周长即l?2?R ② ，圆环的电阻R电为R电??当环速度为v时，切割磁感线产生的电动势为E?Blv④，电流为I?2
E⑤ R电2?k2v2S故圆环速度为v时电功率为P=IR电⑥，联立以上各式解得P?⑦
?R（2）当圆环加速度为零时，有最大速度vm 此时FA?BIl ⑧
由平衡条件mg?FA ⑨ 而m??0S?2?R ⑩ 联立④⑤⑧⑨⑩解得vm???0R2gk2 ⑾