2.1 由比例线段产生的函数关系问题
例1 2017年呼和浩特市中考第25题
已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过坐标原点，且当＜0时，y随x的增大而减小。（自己作图）
（1）求抛物线的解析式，并写出y < 0时，对应x的取值范围；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B， DC⊥x轴于点C.
①当BC＝1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为(a, b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．
例2 2018年上海市静安区中考模拟第24题
已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．
（1）求AB的长； （2）如图1，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．
图1
13
例3 2017年宁波市中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时． ①求证：∠BDE＝∠ADP；
②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满
足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
例4 2018年上海市徐汇区中考模拟第25题
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB?3，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于5点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．
图1
图2 图3
2.1 由比例线段产生的函数关系问题答案
例1 2017年呼和浩特市中考第25题
已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过坐标原点，且当＜0时，y随x的增大而减小。 （1）求抛物线的解析式，并写出y < 0时，对应x的取值范围；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B， DC⊥x轴于点C.
①当BC＝1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为(a, b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．
动感体验
请打开几何画板文件名“15呼和浩特25”，拖动点A在x轴下方的抛物线上运动，观察L随a变化的图像，可以体验到，有两个时刻，L取得最大值，这两个时刻的点A关于抛物线的对称轴对称．
思路点拨
1．先用含a的式子表示线段AB、AD的长，再把L表示为a的函数关系式． 2．点A与点D关于抛物线的对称轴对称，根据对称性，点A的位置存在两个情况．
满分解答
（1）因为抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过原点，所以m2－1＝0．解得m＝±1。 如图1，当m＝1时，抛物线y＝x2＋x的对称轴在y轴左侧，不符合当x＜0时，y随x的增大而减小。
当m＝－1时，抛物线y＝x2－3x符合条件。
图1 图2 图3
（2）①当BC＝1时，矩形ABCD的周长为6。 ②如图2，抛物线y＝x2－3x的对称轴为直线x?3，如果点A在对称轴的左侧，那么233?a?xD?。 22解得xD?3?a。所以AD＝3－2a。