例4 2018年上海市徐汇区中考模拟第25题
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB?3，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于5点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．
图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O在AB上运动，观察△OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O和点P可以落在对边的垂直平分线上，点M不能．
请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y关于x的函数关系．
思路点拨
1．∠B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．
2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．
3．探求y关于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形．
满分解答
（1） 在Rt△ABC中，AC＝6，sinB?所以AB＝10，BC＝8．
过点M作MD⊥AB，垂足为D．
在Rt△BMD中，BM＝2，sinB?MD?3，所以MD?6．
BM553， 5因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离． 图4 （2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．
②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形． 在Rt△BOM中，BM＝2，cosB?BO?4，所以BO?8．此时OA?42．
BM555③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．
在Rt△BOE中，BE＝3，cosB?BE?4，所以BO?15．此时OA?65．
2BO588
图5 图6
（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．
在Rt△BNF中，BN＝y，sinB?3，cosB?4，所以NF?3y，BF?4y．
5555在Rt△ONF中，OF?AB?AO?BF?10?x?4y，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．
5于是得到(x?y)2?(10?x?4y)2?(3y)2．
55整理，得y?250?50x．定义域为0＜x＜5．
x?40
图7 图8
考点伸展
第（2）题也可以这样思考：
如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，MF?6，BF?8．
55在Rt△OMF中，OF＝10?x?8?42?x，所以OM2?(42?x)2?(6)2．
5555在Rt△BPQ中，BP＝1，PQ?3，BQ?4．
55在Rt△OPQ中，OF＝10?x?4?46?x，所以OP2?(46?x)2?(3)2．
5555①当MO＝MP＝1时，方程(42?x)2?(6)2?1没有实数根．
55②当PO＝PM＝1时，解方程(46?x)2?(3)2?1，可得x?OA?42
555③当OM＝OP时，解方程(42?x)2?(6)2?(46?x)2?(3)2，可得x?OA?65．
55558