线性代数 第一章 行列式
（一）行列式的定义
行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.
1．二阶行列式
由4个数aij(i,j?1,2)得到下列式子：
a11a12a21a22a11a12a21a22称为一个二阶行列式，其运算规则为
?a11a22?a12a21
2．三阶行列式
a11a12a13由9个数aij(i,j?1,2,3)得到下列式子：a21a22a23a31a32a33
称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.
3．余子式及代数余子式
a11a12a13设有三阶行列式
D3?a21a22a23a31a32a33
对任何一个元素aij，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素aij的余子式，记成Mij
例如
M11?a22a23a32a33，M21?a12a13a32a33，M31?a12a13a22a23
再记 例如
Aij?(?1)i?jMij ，称Aij为元素aij的代数余子式. A11?M11，A21??M21，A31?M31
那么 ，三阶行列式D3定义为
a11a12a13D3?a21a22a23?a11A11?a21A21?a31A31a31a32a33
我们把它称为D3按第一列的展开式，经常简写成D3 4．n阶行列式
一阶行列式
??ai1Ai1??(?1)i?1ai1Mi1
i?1i?133D1?a11?a11
a11a12?a1na21a22?a2n???an1an2?annn阶行列式
Dn??a11A11?a21A21???an1An1
其中
Aij(i,j?1,2,?,n)为元素aij的代数余子式.
a11上三角行列式
5．特殊行列式
a12?a1na22?a2n???00?ann?00?a11a22?ann ?a11a22?ann
0?0a11a21?an1a110?0下三角行列式
a22????an2?ann0?00a22?0对角行列式
????ann?a11a22?ann
（二）行列式的性质
性质1 行列式和它的转置行列式相等，即D?DT
性质2 用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.
性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号. 推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.
推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质4 行列式可以按行（列）拆开.
性质5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D. 定理1（行列式展开定理）
n阶行列式D?aijn等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即
D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?,n)
或D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj(j?1,2,?,n)
前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式. 本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值. 定理2 n阶行列式D?aijn的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘
积之和等于零.即ai1Ak1或a1jA1s?ai2Ak2???ainAkn?0(i?k)
?a2jA2s???anjAns?0(j?s)
（三）行列式的计算
行列式的计算主要采用以下两种基本方法：
（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，
在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.
（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是
利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：
例1 计算行列式
23D4?571?120423211 25?1，利用这个元素可以把这
解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是a12一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.
2141D4?21413?1212行?1?1行5062按第二列展开?1?5052323行?(?2)?1行10?5072570257025562
5312312 列2?5?1列100按第二行展开?813757375 例2 计算行列式
abD4?bbbabbbbabbbba
解：方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0
值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为a?3b（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子a?3b，再将后三行都减去第一行：
abbbbabbbbabbbba?a?3bbbba?3babba?3bbaba?3bbba1b00?(a?3b)1bbb1abb1bab1bba
b00b0a?b ?(a?3b)0a?b00a?b0?(a?3b)(a?b)3
方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与D4
有相同值的五阶行列式：
abbbD4?babbbbabbbba1bbbb0abbb?0babb0bbab0bbba1行（??1）?2，3，4，行51??1?1?1b000bb0b00
?1a?b000a?b0a?b00a?b这样得到一个“箭形”行列式，如果a把后四列的
?b，则原行列式的值为零，故不妨假设a?b，即a?b?0，
1倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零. a?b1??4ba?b0000bbb00b004b??4???1??(a?b)?(a?3b)(a?b)?a?b?a?b00a?b0000a?b00a?b
1例3 三阶范德蒙德行列式 V31x221x3?(x2?x1)(x3?x1)(x3?x2)
2?x1x1x2x32
（四）克拉默法则
定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 ??????????????an1x1?an2x2???annxn?bn如果其系数行列式D?aijn?0，则方程组必有唯一解：xj?DjD,j?1,2,?,n
其中Dj是把D中第j列换成常数项b1,b2,?,bn后得到的行列式. 把这个法则应用于齐次线性方程组，则有
定理2 设有含n个方程的n元齐次线性方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?ax?ax???ax?0,?2112222nn ??????????????an1x1?an2x2???annxn?0如果其系数行列式D?0，则该方程组只有零解：x1?x2???xn?0
?0，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n
换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有D
元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.
第二章 矩阵
（一）矩阵的定义
1．矩阵的概念
由m?n个数aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成的一个m行n列的数表
?a11a12?a1n????a21a22?a2n? A????????am1am2?amn???称为一个m行n列矩阵或m?n矩阵
当m?n时，称
A??aij?n?n为n阶矩阵或n阶方阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵，用Om?n或O表示
2．3个常用的特殊方阵：