①n阶对角矩阵是指形如
?a110?0????0a22?0?A??的矩阵 ??????00?a?nn??②n阶单位方阵是指形如
?10?0???01?0??的矩阵 En????????00?1???
③n阶三角矩阵是指形如
?a11a12?a1n??a110?0?????0a?aaa?0??222n??2122,????????的矩阵
?????00?a??aa?a?n2nn?nn??n1?
3．矩阵与行列式的差异
矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“
（二）矩阵的运算
1．矩阵的同型与相等
设有矩阵
*”与矩阵记号“?*?”也不同，不能用错.
A?(aij)m?n，B?(bij)k??，若m?k，n??，则说A与B是同型矩阵.若A
?bij，则称矩阵A与B相等，记为A?B
与B同型,且对应元素相等，即aij因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.
2．矩阵的加、减法
设
A?(aij)m?n，B?(bij)m?n是两个同型矩阵则规定 A?B?(aij?bij)m?n A?B?(aij?bij)m?n
注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.
由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.
3．数乘运算
设
A?(aij)m?n，k为任一个数，则规定kA?(kaij)m?n
故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D的乘积，只是用k
乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.
矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.
4．乘法运算
设
其中cijA?(aij)m?k，B?(bij)k?n，则规定AB?(cij)m?n
?ai1b1j?ai2b2j???aikbkj (i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)
由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的
行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.
故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：
AB?BA
②在AB?0时，不能推出A?0或B?0，因而也不满足消去律.
特别，若矩阵A与B满足AB?BA，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵.
①不满足交换律，即
矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.
5．方阵的乘幂与多项式方阵
设A为n阶方阵，则规定
Am??AA?A ????m个特别又若
A0?E
f(x)?amxm?am?1xm?1???a1x?a0，则规定
f(A)?amAm?am?1Am?1???a1A?a0E
称
f(A)为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵
6．矩阵的转置
设A为一个m?n矩阵，把A中行与列互换，得到一个n?m矩阵，称为A的转置矩阵，记为
AT，转置运算满足以下运算律：
(A?)T?A，(A?B)T?AT?BT，(kA)T?kAT，(AB)T?BTAT
由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义 设A为一个n阶方阵，若A满足
为反对称矩阵.
7．方阵的行列式
矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念. 设
AT?A，则称A为对称矩阵，若A满足AT??A，则称A
A?(aij)为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式aijn，称为方阵A的行列
式，记为
A
方阵的行列式具有下列性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则
①
AT?A；
②③
kA?knA AB?A?B
（三）方阵的逆矩阵
1．可逆矩阵的概念与性质
设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足
AB?BA?E，则把B称为A的逆
矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩阵B记为A与
A?1，从而
A?1首先必可交换，且乘积为单位方阵E.
逆矩阵具有以下性质：设A，B为同阶可逆矩阵，k①
?0为常数，则
A?1是可逆矩阵，且(A?1)?1?A；
?1②AB是可逆矩阵，且(AB)③kA是可逆矩阵，且(kA)④
?B?1A?1；
1?1A k?1?AT是可逆矩阵，且(AT)?1?(A?1)T
?PB?A?B AP?BP?A?B
中元素aij的代数余子式，则矩阵
⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即
设P为可逆矩阵，则PA 2．伴随矩阵
设
A?(aij)为一个n阶方阵，Aij为A的行列式A?aijn?A11A21?An1????A12A22?An2?**AA称为A的伴随矩阵，记为（务必注意中元素排列的特点） ????????AA?A?nn??1n2n伴随矩阵必满足
AA*?A*A?AE
A*?An?1 （n为A的阶数）
3．n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法
定理：n阶方阵A可逆?A?0，且A?1?1*A A推论：设A，B均为n阶方阵，且满足
AB?E，则A，B都可逆，且A?1?B，B?1?A
例1 设
?ab?A???cd??
??A*
A?1
（1）求A的伴随矩阵
（2）a，b，c，d满足什么条件时，A可逆？此时求
解：（1）对二阶方阵A，求
?d?b?A*的口诀为“主交换，次变号”即A*????ca??
??（2）由
A?ab?ad?bc，故当ad?bc?0时，即A?0，A为可逆矩阵 cd此时
A?1?1*1?d?b??? A???Aad?bc??ca?（四）分块矩阵
1． 分块矩阵的概念与运算
对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.
在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A的列分块方式与右矩阵B的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A的各子块分别左乘B的对应的子块. 2．准对角矩阵的逆矩阵
形如
?A1????A2?的分块矩阵称为准对角矩阵，其中A1,A2,?,Ar均为方阵空白处都是??????Ar???零块.
若
A1,A2,?,Ar都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且
?A1????A2???????Ar???（五）矩阵的初等变换与初等方阵
?1?A1?1????1??A2???
?????1?Ar??1． 初等变换
对一个矩阵A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换， （1）交换A的某两行（列）；
（2）用一个非零数k乘A的某一行（列）；
（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.
注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“?”连接前后矩阵.
初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵. 2．初等方阵
由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.
由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为Pij，Di(k)和Tij(k)，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.
3．初等变换与初等方阵的关系
设A为任一个矩阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.
4．矩阵的等价与等价标准形
若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为
A?B
?ErO?对任一个m?n矩阵A，必与分块矩阵??OO??等价，称这个分块矩阵为A的等价标准形.即
??对任一个
m?n矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得
?ErO?PAQ???OO??
??5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵
设A为任一个n阶可逆矩阵，构造n?2n矩阵（A，E） 然后
(A,E)?(E,A?1)
注意：这里的初等变换必须是初等行变换.
?1?13??? 例2 求A??2?14?的逆矩阵
??12?4???
解：