Y 25 75 140 220 310 410 P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05 所以随机变量X的数学期望
EY?25?0.1?75?0.2?140?0.3?220?0.2?310?0.15?410?0.05?170.5.
20.解：（1）由题意知2a?4，所以a?2， 所以A1??2,0?,A2?2,0?,B1?0,?b?,B2?0,b?，则 直线A2B2的方程为所以xy??1，即bx?2y?2b?0， 2b?2b4?b2?122，解得b?3， 7x2y2??1； 故椭圆C的方程为43（2）由题意，可设直线l的方程为x?my?n,m?0，
?x?my?n222联立?2消去x得?3m?4?y?6mny?3?n?4??0，（*） 23x?4y?12?由直线l与椭圆C相切，得???6mn??4?33m?4n?4?0，
222????化简得3m?n?4?0，
设点H?mt?n,t?，由（1）知F,0?,F2?1,0?，则 1??122m?n?1?t?01， ???1，解得t??21?m?mt?n??1m所以?F1HN的面积S?F1HN2mn?1???mn?1??11??n?1??， 21?m221?m222代入3m?n?4?0消去n化简得S?F1HN?3m， 2所以
33324m?n2??3m2?4?，解得?m?2，即?m2?4， 21616394n2?443?4，又n?0，所以?n?4， 从而?933故n的取值范围为??43?,4?. ?3?21.解（1）对函数f?x?求导得f??x??lnx?x??lnx?1，
?2?lne?2?1??1， ∴f?e1x???2?e?2lne?2??2e?2， 又fe?2?2??x?e?2，即y??x?e?2； ∴曲线y?f?x?在x?e处的切线方程为y??2e??????（2）记g?x??f?x????x?1??xlnx???x?1?，其中x?0， 由题意知g?x??0在?0,???上恒成立，下求函数g?x?的最小值， 对g?x?求导得g??x??lnx?1??， 令g??x??0，得x?e??1，
当x变化时，g??x?,g?x?变化情况列表如下：
x g??x? g?x? ?0,e? ??1e??1 0 极小值 ?e??1,??? - + ? ? ??1????1?e??1??e??1?1???e??1， ∴g?x?min?g?x?极小?ge????∴??e??1?0，
??1记G??????e，则G?????1?e??1，
令G?????0，得??1．
当?变化时，G????,G???变化情况列表如下：
? ?0,1? + 1 0 ?1,??? - G???? G??? ? 极大值 ? ∴G???max?G???极大?G?1??0， 故??e??1?0当且仅当??1时取等号，
又??e??1?0，从而得到??1；
（3）先证f?x???x?e?2，
?2?xlnx?x?e?2，则h??x??lnx?2， 记h?x??f?x???x?e??令h??x??0，得x?e，
?2当x变化时，h??x?,h?x?变化情况列表如下：
x h??x? h?x? ?0,e? ?2e?2 0 极小值 ?e?2,??? + - ? ? ?2?e?2lne?2?e?2?e?2?0， ∴h?x?min?h?x?极小?he??h?x??0恒成立，即f?x???x?e?2，
记直线y??x?e?2,y?x?1分别与y?a交于x1?,a,x2?,a， 不妨设x1?x2，则a??x1??e?2?????f?x1???x1?e?2，
?2从而x1??x1，当且仅当a??2e时取等号，
由（2）知，f?x??x?1，则a?x2??1?f?x2??x2?1， 从而x2?x2?，当且仅当a?0时取等号， 故x1?x2?x2?x1?x2??x1???a?1???a?e??2??2a?1?e?2?2，
因等号成立的条件不能同时满足，故x1?x2?2a?1?e．
?1?acos??23??22.解：（1）将点P?1,代入曲线E的方程：?23， ???3?2sin?????3解得a?3，
2x2y2??1， 所以曲线E的普通方程为32极坐标方程为?2?cos2???1?312?sin???1， 2???（2）不妨设点A,B的极坐标分别为A??1,??,B??2,?????,?1?0,?2?0， 2?1122??cos???sin??1????11?32?则?， 22?1??cos???????1??sin???????1????2?2??2??2?????2???3?12?112?cos??sin???232?1即?， ?1?1sin2??1cos2?2?2??23∴
1?121?12?2?5， 6即
OA2?5， ?26OB?1OB21所以
1OA2为定值
5． 623.解：（1）依题意有：2a?3?a??a?3?，
33，则2a?3?3，∴?a?3， 2233若0?a?，则3?2a?3，∴0?a?，
22若a?若a?0，则3?2a??a??a?3?，无解， 综上所述，a的取值范围为?0,3?；
（2）由题意可知，当x???1,1?时，f?x??g?x?恒成立， ∴x?a?3恒成立，
即?3?x?a?3?x，当x???1,1?时恒成立， ∴?2?a?2．