第七章 矢量与空间解析几何
本章主要知识点
? 矢量运算 ? 平面 ? 直线方程
? 主要的几个立体图形及方法
一、矢量运算
着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。 1．矢量的内积
（1）a?ba?b?cos?，其中?为a,b的夹角
（2）若a??a1,a2,a3?,b??b1,b2,b3?，
a?b?a1b1?a2b2?a3b3 且a?a?a （3）a?b?a?b?0 (a,b为非零矢量) 例7.1．a??1,1,2?,b???1,0,3?，求a?b。 解：a?b?1???1??1?0?2?3?5。
例7.2．如果a??3,?,?2?,b???,2,?1?，且a?b，求?。 解：a?b?0 得：3??2??2?0 得：???2。 5
2．矢量的叉积a?b
如图所示，如果a不平行于b，则a?b同时垂直与a又垂直于b，或者等价地，c?a?b垂直于由a,b确定的一平面。它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。
如果a??a1,a2,a3?,b??b1,b2,b3?那么
a?b
b
ia?b?a1b1利用第一行代数余子式展开计算。
若a,b非零，a//b?a?b?0?ja2b2ka3， b3图示7.1
a
a1b1c1?? a2b2c2例7.3．a??1,?1,1?,b??1,2,3?，求a?b
i1j2k3解：a?b?1?11?i?1123?j1113?k1?112??5i?2j?3k???5,?2,3?
例7.4．如果a??1,?,1?,b??2,3,2?，a//b求? 解：
1?13??，解得：??。 23223．单位向量
a0?a为矢量a的方向上的单位矢量。 a
4．矢量b在a上的投影projab
??projab???a?ba2a
二、平面方程
1．平面方程的基本形式（点法式）
平面?过点M0x0,y0,z0，法矢量为n??A,B,C?那么平面方程为
??n?MM0?0?A?x?x0??B?y?y0??C?z?z0??0
（1）点法式有两个基本要素：点M0和法向量n。
（2）如果一平面方程写为Ax?By?Cz?D?0，那么n??A,B,C?。 （3）两平面之间的位置矢量由各自的法向量n1,n2来决定。 （4）点M?x1,y1,z1?到平面Ax?By?Cz?D?0的距离d
d?Ax1?By1?Cz1?DA?B?C222
例7.5．已知平面过三点M1(1,?1,1),M2(?1,0,2),M3(2,?1,?1),求平面方程。 解： a?M1M2?{?2,1,1},b?M1M3?{1,0,?2}
ij???n?a?b??211k1??2i?3j?k?{?2,?3,?1}
0?2 平面方程为 ?2(x?1)?3(y?1)?1(z?1)?0
例7.6．已知平面过点M1(1,?1,1),M2(0,1,?3),且平行与矢量b?{1,?1,?2}，求平面方程。
解：a?M1M2?{?1,2,?4}
?in?a?b??11平面方程为
j2k?4??8i?6j?k?{?8,?6,?1}
?1?2?8(x?1)?6(y?1)?1(z?1)?0。
例7.7．已知平面过点M1(?1,1,?2)且与平面2x?2y?5z?5平行，求平面的方程 解：n?{2,?2,5}，平面方程为2(x?1)?2(y?1)?5(z?2)?0。 三、直线方程
?直线过M0(x0,y0,z0)且方向矢量为l?{m,n,l)，则直线方程（点斜式）的基本形
式为：
x?x0y?y0z?z0?? mnl?直线点斜式两基本要素为M0及方向矢量l。
另外一种常见的直线方程可由两平面相交形式给出。
??x?y?z?1?0例7.8．如果直线方程为?，求直线的方向矢量l的点斜式方程
?2x?y?2z?2?0解：令y?0，得??x?z?1，所以 x?1,z?0,
x?z?1?故M0?{1,0,0}，两平面的方向为n1,n2，则
ijk1?3i?4j?k?{3,4,1}
l?n1?n2?1?12?1?2x?1yz?? 341x?1y?1z??在平面x?y?z?4的投影直线的方程。 例7.9．求直线121解：取M?(1,1,0)
直线的点斜式为
直线l，交线构成平面?，则???，
?
l
?的法线
ijkn??l?n??121??3i?2j?k???3,2,?1?
11?1故平面方程为?3(x?1)?2(y?1)?z?0， 即，?3x?2y?z?1?0。 故直线的方程为??M0图示7.2
??3x?2y?z?1?0 。
?x?y?z?4?ax?y?z?1x?1y?1z?1??例7.10．当a,b为何值时，直线?与直线平行？ 1212x?by?z?2?解：平面?:ax?y?z?1,?:2x?by?z?2法矢量分别为：
n1?{a,1,1},n2?{2,b,?1},
直线方向矢l2?{1,2,1}， 直线l1方向矢
ijkl1?n1?n2?a11
2b?1?i(?1?b)?j(?a?2)?k(ab?2)
???1?b,a?2,ab?2?，
由l1//l2得：
?1?ba?2ab?2???t 121则b??1?t，a?2t?2，ab?2?t，得：
??1?t??2?t?1??2?t，?2?t2?1??2?t，即?2t2?t，
所以t?0，t??1， 2