1??a??2?a??于是得到? 或 ?2。
b??1???b??3例7.11．平面?通过直线?的方程。
解：设平面方程为x?y?z?1???x?y?2z?2??0
即?：?1???x????1?y??2??1?z??2??1??0
??x?y?z?1，且与平面?：3x?y?z?1垂直，求平面??x?y?2z?2n???1??,??1,2??1?；
????由于????n??n??n??n??0即
3?1???????1???2??1??0
得：4??5?0，???即平面?的方程为
5 41999?x?y?z??0或x?9y?9z?9 4444注：此题解法中应用了平面束的概念。 例7.12．平面通过点M1（1,-1,2）且直线
x?1y?2z??落在其中，求平面方程。 1?2?1解：M1?(1,?1,2),M2?(1,?2,0), a?M1M2?{0,?1,?2}ijkn?a?l?0?1?2??3i?2j?k
1?2?1平面方程为：?3(x?1)?2(y?1)?(z?2)?0。 例7.13．求异面直线l1:x?1yz?1x?2y?1z??,l2:??之间的距离。 1?2?1?211解：l1?{1,?2,?1},l2?{?2,1,1}，
in?l1?l2?1jk?2?1??i?j?3k ?211以n为法矢量分别作包含l1,l2的两平行平面?,?
?:?(x?1)?y?3(z?1)?0，即?x?y?3z?2?0 ?:?(x?2)?(y?1)?3z?0，即?x?y?3z?3?0
两平面间的距离就是异面直线之间的距离。
d?|?1?0?3?(?1)?3|(?1)2?12?(?3)2?1。 11四、常见曲面及方程
方 程 名 称 母线平行Z轴，准线是Oxy面上曲线F?x,y??0 F?x2?y2,z?0 x2y2z2?2?2?1(a,b,c?0) 2abc??F(x,y)?0的柱面方程 yOz平面上已知曲线C：F(y,z)?0绕Oz轴旋转的旋转面方程。 椭球面 x2y2??z(p,q同号) 2p2q?x2y2??z(p,q同号) 2p2qx2y2z2?2?2?1 2abcx2y2z2????1 a2b2c2椭圆抛物面 双曲抛物面 单叶双曲面 双叶双曲面
单元练习题7
?为非零常数，1. 给a,b为两个非零矢量，若向量a??bA．
垂直于向量b，则?等于（ ）
a?bb2 B. ?a?bb2
C.1 D. a?b
2. 设a??i?j?2k,b?3i?4k，用b表示b方向上单位向量，则向量a在b上的投
影为（ ）
5b B. b 6?5 C. b D. ?b
6 A．3. 方程x2?y2?4x在空间直角坐标系下表示为：
A．圆柱面 B. 点
C. 圆 D. 旋转抛物面
4．在空间坐标系下，下列为平面方程的是： A.y?x B. ?2?x?y?z?0
?x?2y?z?1x?2y?4z?? D. 3x?4z?0 27?35．与平面x?y?z?1垂直的直线方程为：
C. A． ??x?y?z?1x?2y?4z?? B. 21?3?x?2y?z?0C. 2x?2y?2z?5 D. x?1?y?2?z?3
6．直线l与x轴平行，且与曲线y?x?e相切，则切点坐标是：
A．（1,1） B．(-1,1) C．(0,-1) D．(0,1)
x
7．点M?2,?3,4?到平面3x?2y?z?3?0的距离d? 。 8．过原点且与直线L：
x?1y?1z?3??垂直的平面方程为 2?139．过点?0(2,0,?1)且平行向量a??2,1,?1?,b??3,0,4?的平面方程为 。
10．过点M0(2,0,?1)且平行于两个已知平面?1:x?y?2z?1?0，?2:x?2y?z?1?0
的直线方程为 。
?2y2?3z?111．曲线?:? 绕oz轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 。
?x?012．判断直线
1:x?2y?2z?3??与平面?:x?y?z?3的关系。 31?413．已知向量a?i?y?5k,b?2i?3j?5k,求与a?3b同向的单位向量。
?x?y?z?7?014．求通过原点且垂直于直线：?的平面方程。
4x?3y?z?6?0?15.把?:??x?3y?5?0方程化为标准式（点斜式）与参数形式。
?y?2z?8?0?x?y?2z?1x?1y?1z??平行，求平面?方程。 且与直线121x?y?z?1?x?2yz?5xy?2z?3???和?2:?平行的 3?4612?816．平面?通过直线?17．求过点?(?1,?2,3)且与直线?1:平面方程式。 18．确定?1:??3x?6y?3z?8?x?2y?z?7与?2:?的平行或垂直关系。
2x?y?z?0?2x?y?z?7??19．确定:
x?3y?4z??与平面?:4x?2y?2z?3?0的平行或垂直关系。 27?3历年真考题
1．（2001）方程x2?y2?4x在空间直角坐标系下表示（ ）
A. 圆柱面 B. 点 C. 圆 D. 旋转抛物面 2．（2002）在空间坐标系下，下列为平面方程的是（ ） A. y2?x B. ??x?y?z?0
?x?2y?z?1x?2y?4z?? D. 3x?4z?0 27?33．（2003）与平面x?y?z?1垂直的直线方程为（ ）
C. A. ??x?y?z?1x?2y?4z?? B. 21?3?x?2y?z?0C. 2x?2y?2z?5 D. x?1?y?2?z?3
4．（2004）过点M(1,0,-2)且垂直于平面4x?2y?3z?2的直线方程为______. 5．（2005）设向量a?{3,4,?2},b?{2,1,k},若a与b垂直，则k=________. 6．（2005）求过点A(3,1,?2),且通过直线L:
本章测试题
1．过点M(?1,1,1)与平面x?2y?3z?1相平行的平面方程是 。 2．直线?x?4y?3z??的平面方程。 521?x?y?z?1的标准式是 。
x?y?z?1?3．将曲线y2?z绕z轴旋转所的旋转面方程是 。 4．下面哪条直线与平面x?2y?3z?6?0平行（ ）
Ａ. ??x?y?z?1 Ｂ. x?2y?3z?5?0
x?2y?2z?2??x?1?2tx?1y?2z?1???Ｃ. Ｄ. ?y??1?3t 121?z?4t?5．下面曲面中哪一个是旋转抛物面（ ）