北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题（理工类） 2013.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项.
1. 已知i是虚数单位，若复数(1?ai)(2?i)是纯虚数，则实数a等于 A．2 B．
12 C．?12 D．?2
2.“k?1”是“直线x?y?k?0与圆x2?y2?1 相交”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.执行如图所示的程序框图．若输入x?3，则输出k的值是 A． 3 B．4 C． 5 D． 6
4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(?5,0)， 点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0,2)，则
开始 输入x k?0 x?x?5 k?k?1x?23? 此双曲线的方程是
是 否 A．
x24x2?y2?1 B．x?2y24y2?1 输出k C．
2?y23?1 D．
x23?2?1
结束 5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动， 若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有
A． 140种 B． 120种 C． 35种 D． 34种[ 6.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所 示，则其侧视图的面积为
1 正视图 3 俯视图
A． C．
3434 B．
32
D．1
7.设集合A=?xx2?2x?3?0?，集合B=?xx2?2ax?1?0,a?0?.若A?B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是 A．?0,??3??34? B．,? ??4??43? C．
?3? D．?1,??? ,????4??8. 在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是 A．
124 B．
112 C．
16 D．
12
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列1,a1,a2,9是等差数列，数列1,b1,b2,b3,9是等比数列，则
b2a1?a2的值为 .
10. 如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P. 若PD?2a3，?OAP?30?，则AB= ，CP? （用a表示）.
OPADC?x…0, B?11.若关于x，y的不等式组?y…x, （k是常数）所表示的平面区域的边界是一个
?kx?y?1…0?直角三角形，则k? .
12. 在极坐标系中，过圆??4cos?的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．
13.在直角三角形ABC中，?ACB?90?，AC?BC?2，点P是斜
????????????????边AB上的一个三等分点，则CP?CB?CP?CA? ．
14. 将整数1,2,3,?,25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）
已知函数f(x)?sinx2cosx2?cos2x2?1.
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数f(x)在[???,]上的最小值. ??1316. （本小题满分14分）
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2，点E在棱CD上，且CE=（Ⅰ）求证：AD1?平面A1B1D；
D CD．
E C
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在点P，使DP∥平面B1AE？
若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）若二面角A-B1E-A1的余弦值为长．
A1
B1
17. （本小题满分13分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数
8 a 20 ▓ 2
频率
0.16 ▓ 0.40 0.08 b
0.008 y 50 60 70 80 90 100 0.040 x A
B
306，求棱AB的
D1 C1
频率 组距 频率分布直方图
▓ ▓ 成绩（分）
合计 ▓ ▓
（Ⅰ）写出a,b,x,y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到
广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设?表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求?的分布列
及其数学期望. 18. （本小题满分13分）
已知函数f(x)?a(x?)?2lnx(a?R)．
x1（Ⅰ）若a?2，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅲ）设函数g(x)??取值范围．
19.（本小题满分14分）
已知点A是椭圆C:x2ax．若至少存在一个x0?[1,e]，使得f(x0)?g(x0)成立，求实数a的
9?yt2?1?t?0?的左顶点，直线l:x?my?1(m?R)与椭圆
163C相交于E,F两点，与x轴相交于点B.且当m?0时，△AEF的面积为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AE，AF与直线x?3分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是
否经过点B？并请说明理由. 20. （本小题满分13分）
2将正整数1,2,3,4,?,n（n?2）任意排成n行n列的数表.对于某一个数表，计算各
行和各列中的任意两个数a,b（a?b）的比值征值”.
ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特
（Ⅰ）当n?2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（Ⅱ）若aij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1?i?n，1?j?n），且满足
?i?(j?i?1)n， i?j,aij??请分别写出n?3,4,5时数表的“特征值”，并由此归
i?(n?i?j?1)n，i?j,?纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（Ⅲ）对于由正整数1,2,3,4,?,n排成的n行n列的任意数表，记其“特征值”为?，求证：??n?1n2.
北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题答案（理工类） 2013.1
一、选择题： 题号 答案 （1） A （2） A （10） 3a；9a8（3） C （11） （4） B （5） D （12） （6） C （7） B （8） A （14） 45； 85 二、填空题： 题号 （9） 答案 310（13） 4 ?1或0 ?cos??2 （注：两空的填空，第一空3分，第一空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）f(x)?sin?x2cosx2?121?cosx2cosx?12 ?1
????????????????2分
12sinx?