综上所述，实数a的取值范围为(0,??). ???????????????13分 （19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当m?0时，直线l的方程为x?1，设点E在x轴上方，
2?x2y22t22t42t??1,?由?9解得E(1,. ),F(1,?),所以EF?t333?x?1?因为△AEF的面积为
12?4?42t3?163，解得t?2.
所以椭圆C的方程为
x29?y22?1. ???????????????????4分
2?x2y??1,?（Ⅱ）由?9得(2m2?9)y2?4my?16?0，显然m?R.???????5分 2?x?my?1?设E(x1,y1),F(x2,y2), 则y1?y2??4m2m?92,y1y2??162m?92，??????????????????6分
x1?my1?1,x2?my2?1.
y1?y?(x?3),y16y1?x1?3又直线AE的方程为y?解得M(3,(x?3)，由?)，
x1?3x?31?x?3??????????6y16y2),BN?(2,),????????9分 ).所以BM?(2,同理得N(3,x1?3x2?3x2?36y2?????????6y16y2)?(2,) 又因为BM?BN?(2,x1?3x2?336y1y2(x1?3)(x2?3)36y1y2(my1?4)(my2?4)?4??4?
?4(my1?4)(my2?4)?36y1y2my1y2?4m(y1?y2)?162
??16(4m?36)?16?4m?16?4(2m?9)?32m?16(2m?9)22222
??64m?576?64m?128m?5769222?0.??????????13分
?????????所以BM?BN,所以以MN为直径的圆过点B. ?????????????14分
（20）（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.
可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4.
得到数表的不同特征值是（Ⅱ）当n?3时，数表为
此时，数表的“特征值”为.
当n?4时,数表为
13 1 10 14 7 11 4 8
32或.4 2 9
43
????????????3分
7 1 5 8 3 6
43
5 2 15 12
????????????????????4分
9 6 3 16
此时，数表的“特征值”为
当n?5时,数表为
21 17 13 9 5
54. ?????????????????????5分
11 16 7 12 3 8 24 4 20 25
1 6 22 2 18 23 14 19 10 15
此时，数表的“特征值”为猜想“特征值”为
n?1n65. ??????????????????????6分
. ???????????????????????7分
（Ⅲ）对于一个数表而言，n?n?1,n?n?2,?,n这n个较大的数中，要么至少有两个
数在一个数表的同一行（或同一列）中，要么这n个较大的数在这个数表的不同行且
222不同列中.
①当n?n?1,n?n?2,?,n这n个较大的数，至少有两个数在数表的同一行（或同一
abn22222列）中时，设a,b（a?b）为该行（或列）中最大的两个数，则??233?n?n?1，
因为
n2n?n?1?n?1n?n?(n?1)n(n?n?1)2??1n(n?n?1)2?0,
所以
n22n?n?12?2n?1n，从而??2n?1n. ????????????????10分
②当n?n?1,n?n?2,?,n这n个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时， 当它们中的一个数与n2?n在同行（或列）中，设a为与n2?n在同行、同列中的两
an?n2个最大数中的较小的一个.则有??n?1n?n?1n?n22?n?1n.
综上可得??. ????????????????????????13分