?22sin(x??4)?1
2
.?????????????????4分
所以函数f(x)的最小正周期为2?. ????????????????6分 由2k???2?x??4?2k??3?2，k?Z，则2k???44,2k??5?4?4?x?2k??5?4.
函数f(x)单调递减区间是[2k?? (Ⅱ)由
???x??4???3?2]，k?Z. ?????????9分
，得
?2?x?5?4?4?7?. ???????????????11分
2?12则当x??，即x?时，f(x)取得最小值?. ???????13分
（16）（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 因为A1B1?面A1D1DA，
所以A1B1?AD1． ????????2分 在矩形A1D1DA中，因为AA1=AD=2， 所以AD1?A1D．
A1
B1
A
B
D E C
D1 C1
所以
AD1?面
A1B1D． ????????????????????????4分
（Ⅱ）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，以D1为原点建立空间直角坐标系D1?xyz． 依题意可知，D1(0,0,0),A1(2,0,0),D(0,0,2)，
A(2,0,2)，
z D E C 设AB的长为x，则C1(0,x,0),B1(2,x,0)，
C(0,x,2),E(0,23x,2)．
A B D1 y C1 假设在棱AA1上存在点P，使得DP∥平面B1AE．
A1 x B1 ????设点P(2,0,y)，则DP?(2,0,y-2)， ????AP?(0,0,y-2)．
????????12易知B1E=(-2,-x,2),AE?(-2,x,0)．
33设平面B1AE的一个法向量为n?(a,b,c)，
1?????-2a-xb?2c=0???B1E?n=0?3则????，即?．??????????????????7分 ?2??-2a+xb=0?AE?n=0?3?令b?3得，a?x,c?32x，所以n?(x,3,32x)．
????因为DP∥平面B1AE，等价于DP?n?0且DP?平面B1AE．
得2x+(y-2)?32x?0，所以y?23．
????????444所以AP?(0,0,-)，AP?，所以AP的长为．????????????9分
333（Ⅲ）因为CD∥A1B1，且点E?CD，
所以平面A1B1E、平面A1B1D与面A1B1CD是同一个平面． 由（Ⅰ）可知，AD1?面A1B1D，
?????所以D1A?(2,0,2)是平面A1B1E的一个法向量． ????????????11分
由（Ⅱ）可知，平面B1AE的一个法向量为n?(x,3,30632x)．
因为二面角A-B1E-A1的余弦值为?????D1A?n30???????6AD1?n，
所以cos??2x+3x22?x?9?(2，解得x?32．
32x)2故AB的长为32． ??????????????????????14分 （17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可知，a?16,b?0.04,x?0.032,y?0.004． ??????4分 （Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人． 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有
C6?15种情况． ????????????????????????6分
2设事件A：随机抽取的2名同学来自同一组，则
P(A)?C4?C2C2622?715.
715所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，?的可能取值为0,1,2，则
C4C2． ??????????8分
P(??0)?26?615?25，P(??1)?C4C2C2611?815，P(??2)?C2C226?115．
所以，?的分布列为
?
P
0 251 2
????????????????12分
81525
115115
23所以，E??0??1?815?2??． ??????????????13分
（18）（本小题满分13分） 解：函数的定义域为?0,???，
f?(x)?a(1?1x2)?2x?ax?2x?ax22． ???????????????????1分
1（Ⅰ）当a?2时，函数f(x)?2(x?)?2lnx，f(1)?0，f?(1)?2．
x所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?0?2(x?1)，
即2x?y?2?0．???????????????????????????3分 （Ⅱ）函数f(x)的定义域为(0,??)．
（1）当a?0时，h(x)?ax2?2x?a?0在(0,??)上恒成立，
则f?(x)?0在(0,??)上恒成立，此时f(x)在(0,??)上单调递减． ?????4分 （2）当a?0时，??4?4a2， （ⅰ）若0?a?1，
1?1?aa22由f?(x)?0，即h(x)?0，得x?或x?1?1?aa2； ??????5分
由f?(x)?0，即h(x)?0，得
1?1?aa?x?1?1?aa2．?????????6分
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1?1?aa22)和(1?1?aa2,??)，
单调递减区间为(1?1?aa2,1?1?aa)． ??????????????7分
（ⅱ）若a?1，h(x)?0在(0,??)上恒成立，则f?(x)?0在(0,??)上恒成立，此时f(x) 在(0,??)上单调递增． ????????????????????????8分 （Ⅲ））因为存在一个x0?[1,e]使得f(x0)?g(x0)， 则ax0?2lnx0，等价于a?2lnx0x0.???????????????????9分
令F(x)?2lnxx，等价于“当x??1,e? 时，a?F?x?min”.
2(1?lnx)x2对F(x)求导，得F?(x)?. ?????????????????10分
因为当x?[1,e]时，F?(x)?0，所以F(x)在[1,e]上单调递增. ?????12分 所以F(x)min?F(1)?0，因此a?0. ????????????????13分 另解：
设F?x??f?x??g?x??ax?2lnx，定义域为?0,???，
F??x??a?2x?ax?2x.
依题意，至少存在一个x0?[1,e]，使得f(x0)?g(x0)成立，
等价于当x??1,e? 时，F?x?max?0. ???????????????9分 （1）当a?0时， F??x??0在
?1,e?恒成立，所以F?x?在?1,e?单调递减，只要
F?x?ma?xF?1??a?0，
则不满足题意. ??????????????????????????10分 （2）当a?0时，令F??x??0得x?（ⅰ）当0?2a?1，即a?2时，
2a.
在?1,e?上F??x??0，所以F?x?在?1,e?上单调递增， 所以F?x?max?F?e??ae?2， 由ae?2?0得，a?2e，
所以a?2. ??????????????????????????11分 （ⅱ）当
2a?e，即0?a?2e时，
在?1,e?上F??x??0，所以F?x?在?1,e?单调递减， 所以F?x?max?F?1??a， 由a?0得0?a?（ⅲ）当1?22a2e.?????????????????????????12分
2e?a?2时，
2?e，即
在[1,)上F??x??0，在(,e]上F??x??0，
aa所以F?x?在[1,)单调递减，在(,e]单调递增，
aa22F?x?max?0，等价于F?1??0或F?e??0，解得a?0，
所以，
2e?a?2.