有关简谐运动的几个问题（二）
（一）巧用简谐运动中的对称性解题
做简谐运动的物体其运动具有对称性，因此描述简谐运动的一些物理量也具有对称性，若能灵活运用这一点来解决简谐运动问题，常能收到出奇制胜的效果。下面举例说明，以供同学们参考。
1. 巧用时间的对称性
[例1] 如图1所示，一质点在平衡位置大位移处运动过程中经要经多长时间第3次通过
点两侧做简谐运动，在它从平衡位置
出发向最
第一次通过点，再经第2次通过点，该质点振动的频率为多大？
图1
解析：由于质点从所需时间为
和从
的时间是对称的，结合题设条件可知
的时间为 ，又因为
，频率
根据时间的对称性可知
。 与
所需时间相等为
，所以质点第3次通，所以质点的振动周期为
，所以质点从平衡位置
点。则此后还
过点所需时间为。 2. 巧用加速度的对称性
[例2] 如图2所示，小球从竖直立在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，全过程中弹簧为弹性形变。试比较弹簧压缩到最大时的加速度和重力加速度的大小。
图2
解析：小球和弹簧接触后做简谐运动，如图2所示，点
为弹簧为原长时端点的位置。
小球的重力与弹簧的弹力的大小相等的位置为平衡位置。点为弹簧被压缩至最低点的位置（也就是小球做简谐振动的最大位移处），点为与对称的位移（也是最大位移处）。由对称性可知，小球在点和点的加速度的大小相等，设为，小球在点的加速度为，由图点
在点
和
之间 ，所以
。
[例3] 如图3所示，质量为的物体放在质量为的平台上，随平台在竖直方向上做简谐运动，振幅为，运动到最高点时，物体对平台的压力恰好为零，当运动到最低点时，求的加速度。
图3
解析：我们容易证明，物体在竖直平面内做简谐运动，由小球运动到最高点时对M的压力为零，即知道物体在运动到最高点时的加速度为，由简谐运动的对称性知道，物体运动到最低点时的加速度和最高点的加速度大小相等，方向相反，故小球运动到最低点时的加速度的大小为，方向竖直向上。
[例4] 如图4所示，轻弹簧（劲度系数为）的下端固定在地面上，其上端和一质量为的木板相连接，在木板上又放有一个质量为的物块。当系统上下振动时，欲使、始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？
解析：从简谐运动的角度看，木板即
图4 和物块
的总重力与弹簧弹力的合力充当回复力，
，即
；从简单连接体的角度看，系统受到的合外力产生了系统的加速度
，由以上两式可解为
。当
和
和
不可能和
分离，因此
在平衡位置下方时，系
统处于超重状态，和
分离的位置一定在上方最大位移处，且
一起运动的最大加速度。由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为
，即得
，所以轻弹簧的最大压缩量应满足关系式。
3. 巧用速度的对称性
[例5] 如图5所示是一水平弹簧振子在以
内的振动图象。从图象中分析，在给定的时间内，
为起点的哪段时间内，弹力所做的功为零。
图5
解析：由速度的对称性可知，图5中与。结合动能定理可知，从4. 巧用回复力的对称性
具有相同速率的时刻为
、
、
、
到以上时刻所对应的时间内弹力所作的功均为零。
[例6] 如图6所示，在质量为的当
的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为
、间细线，此后
将做简谐运动。
、两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断运动到最高点时，木箱对地面的压力为（ ） A.
B.
C.
D.
图6
解析：剪断细线后的瞬间，弹簧对
的弹力为
，所以
受到向上的合外力（回
复力）为。当运动到上方最大位移处时，由于简谐运动的回复力的对称性，将受到竖直向下的合外力（回复力），其大小仍为，也就是说，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力为
。选项
正确。
[例7] 如图7所示，质量为
的木块放在弹簧上端，在竖直方向上做简谐运动，当振幅为
时，物体对弹簧的压力的最大值是物体重力的倍，则物体对弹簧的最小压力是_____；欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅不能超过_____。
图7
分析与解答：物体对弹簧压力最大应是物体振动到最低点时，最小应是物体振动到最高点时。对物体进行受力分析，在最低点受两个力：重力和弹簧弹力，根据题中信息可知这两个力的合力大小为
，方向向上，充当回复力。根据力大小的对称性可知，物体振动
，方向向下，则物体在最高点所受弹簧的弹力应为
；物体脱离弹簧时
到最高点时，回复力大小也应为
，方向向上，根据牛顿第三定律物体对弹簧的最小压力为
应是弹簧恢复到自由伸长时，根据弹力可知，在原来的基础上弹簧再伸长一个振幅就可恢复到原长，所以欲使物体不离开弹簧，其振幅不能超过。
[例8] 如图8，用质量不计的弹簧把质量为
的木板
与质量为
的木板
连接组成如图，撤消
后，
所示的装置，板置于水平地面上，现用一个竖直向下的力板恰好被提离地面，由此可知力的大小是（ ）
A.
B.
C.
D.
向下压木板
为
图8
解析：没撤去力时，物体静止，所受合力为零，把力撤去，物体受合力大小，方向向上，开始向上振动，所以最大回复力为，根据力大小的对称性，振动到
，对物体
在最高点进行受力分析：重力
进行受力分析，
和弹簧的弹力
最高点时，回复力大小也为，合力为
。即
；再对物体恰好被提离地面可得：
，所以力的大小为
5. 巧用能量的对称性 [例9] 如图9—1，原长为
。选项B正确。
的轻弹簧竖立于地面，下端固定于地面，质量为
。如果物体从距地面
处自）有
的物体放到弹簧顶部，物体静止，平衡时弹簧长为
由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧到距地面时（不计空气阻气，取（ ）
A. 物体的动能为1J B. 物块的重力势能为1.08J
C. 弹簧的弹性势能为0.08J D. 物块的动能与重力势能之和为2.16J
解析：由题设条件画出示意图9—2，物体距地面
时的位置
即为物体做简谐运
动的平衡位置。根据动能的对称性可知，物体距地面时位置的动能与距地面
时位置的动能相等。因此只需求出物体自由下落到刚接触弹簧时的动能即可。由机械能守恒定律得
可见，熟练掌握并准确应用简谐运动的对称性，能使解题有理有据，简捷明了，达到事半功倍的效果。
（二）竖直方向上弹簧振子简谐运动的特征及应用
“变式”教学对抓住事物的本质，准确地把握概念和规律的内涵有着重要的意义。在简谐运动的学习中，很多同学由于对运动特征没有深刻的认识，不能将竖直方向与水平方向做简谐运动的弹簧振子的相关特征进行正确的区分，把握个性化的特点，导致不能充分汲取题中所提供的有用信息，解题失败！
下面通过对竖直方向上做简谐运动的弹簧振子的运动特征进一步探讨，来挖掘相关问题中提供的有用信息。
1. 竖直方向上简谐运动模型的建立 由简谐运动的概念可知，要证明物体是否做简谐运动可从两方面入手：回复力大小跟物体偏离平衡位置的位移成正比；方向总指向平衡位置。
现在，我们一起来证明竖直方向上的弹簧振子的简谐运动。
。物体从
到
的过程中弹性势能的增加为
，所以选项A、C正确。
如图1所示，把一个质量为的有孔小球安在劲度系数为的弹簧的上端，弹簧的下端固定，小球穿在光滑的竖直杆上，可以在竖直杆上滑动。弹簧的质量比小球的质量小得多，可以忽略不计。
图1
振子静止在缩量为
，则
点时，回复力为零，是振子的平衡位置，此时弹簧处于压缩状态，设压
。把振子拉到平衡位置上方
点，偏离平衡位置点和
点的位移为
，然后释放，则在振动过程的任意位置，以图中的位移分别为
和
点：弹簧可能被拉伸也可能仍处于压缩状态。 若弹簧被拉伸，回复力大小
若弹簧处于压缩状态，回复力大小
点：弹簧处于压缩状态，回复力大小
点为例，设偏离平衡位置的
，受力分析并根据牛顿第二定律列式分别有：
而在此过程中回复力简谐运动。
图（2）中的情况与图（1）中的情况基本相同，学生可自行分析。
的方向始终指向平衡位置。因此，竖直方向的弹簧振子做的是
图2
2. 与水平方向弹簧振子简谐运动的比较分析 对竖直方向做简谐运动的弹簧振子的特征，既要能够与水平方向进行类比，化陌生为熟悉，同时又要注意区分两者的不同点。 弹簧振子 受力特点 回复力由弹簧弹力（合外力）提供，平衡位置时弹簧处于原长状态。 回复力由重力和弹簧运动特点 振子在平衡位置附近做往复运动，速度和加速度随时间按正弦规律周期性变化 与水平方向相同 能量特点 动能与弹性势能相互转化，振子与弹簧组成的系统机械能守恒。 动能、弹性势能和重水平方向 竖直方向