弹力的合力（合外力）提供，平衡位置时弹簧处于压缩（图1）或拉伸（图2）状态。 力势能相互转化，振子与弹簧组成的系统机械能守恒。 3. 应用举例
在解决与竖直方向弹簧振子做简谐运动模型有关的问题时，既要能够透彻理解简谐运动中的一些重要概念，如平衡位置、振幅、回复力等；同时还要能够准确把握简谐运动中的一些物理量的对称性特点，如回复力、振幅等，合理地进行类比、推理。另外，对于弹簧模型的受力、能量特点的理解也是必不可少的。 [例1] 一轻弹簧直立在地面上，其劲度系数为一起，盒子内装物体
，
的上下表面恰好与盒子接触，
，弹簧的上端与盒子和
的质量
连接在
，
，不计阻力，先将向上抬高使弹簧伸长后从静止释放，和一起做
上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧的形变大小。试求：（1）的振幅；（2）的最大速率；（3）在最高点和最低点时对的作用力。
解析：（1）设（2）当
和
做简谐运动到平衡位置时，弹簧的压缩量为
，由平衡条件
，得，故的振幅为。
运动到平衡位置时速率最大，和由静止释放到平衡位置过程中，弹簧的
，得
伸长量与压缩量相等，弹性势能不变，由动能定理
。
（3）设、
一起运动的最大加速度大小（最高点和最低点）为，由牛顿第二定律
，得
。
，得A对B的作用力
，得和
对
的作用力的
、
，
取B为研究对象，在最高点时有方向向下；在最低点时有
[例2] 如图3所示，质量分别为
，方向向上。
两物块，用劲度系数为
向下压而使之处于
的轻弹簧相连后竖直放在水平面上，今用大小为静止，突然撤去压力，则（ ）
A. 物块有可能离开水平面 B. 物块不可能离开水平面
C. 只要足够小，物块D. 只要足够大，物块
就可能离开水平面 就可能离开水平面
的力把物块
图3
解析：撤去压力后，物体置，此时最大回复力为
在竖直方向上做简谐运动，下压的的初始位置即为振幅位（学生可类比水平方向得出结论，也可间接由受力分析得
运动到最高点时，回复力也为
，得
，
，方向向下，设此，因此，物体
不
出），由回复力的对称性特点，当时弹簧中的弹力为可能离开水平面。
，有
（三）简谐振动的图象和能量 1. 知识点回顾
（1）简谐振动的图象
① 物理意义：表示振动物体的位移随时间变化的规律。特别要注意的是，振动的图象不是质点的运动轨迹。
② 应用：直观的读取振幅、周期以及各时刻的位移；判断回复力、加速度的方向；判定某段时间内的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。
（2）简谐振动的能量
振动过程是一个动能和势能不断转化的过程，在任意时刻的动能与势能之和等于物体振动时的总机械能。振动物体的总机械能的大小与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。没有损耗时，振动过程的总机械能守恒。阻尼振动的振幅逐渐减小，所以阻尼振动的机械能不守恒。
2. 典型例题
（1）识别简谐振动的图象
[例1] 如图1所示，是一质点做简谐振动的振动图象。求质点的振幅、周期、频率，并指出质点何时位移最大，何时速度最大，何时加速度最大？
图1
解析：从图中可以直接看出质点的振幅为，振动的周期为，从图中还可以看出简谐振动的物体除具有等时性外，还具有周期性和对称性：即位移最大的时刻分别是
、、
、、??
??
，其中为非负整数；同样，速度最大的时刻分别是
、
、
??
、
，其中为非负整数；加速度最大时刻为
。
点附近做简谐运动，若从
，它第二次经过
点开始记时，经过点；则该质点第三次经
其中为非负整数。振动频率
（2）简谐振动的相关计算 [例2] 如图2所示，一个质点在平衡位置质点第一次经过点；再继续运动，又经过过点所需的时间是（ ）
A.
B.
C.
D.
图2
解析：设图2中、两点为质点振动过程中的最大位移，若开始记时时刻质点从向右运动，质点第三次经过时刻质点从显然
运动过程经历点所需的时间
运动过程经历了
，质点第三次经过
，
过程经历
，显然
，
点，
，故C正确；若开始记时，
过程经历
，
点向左运动，，
点所需的时间
，故D正确。因此选C、D。
（3）简谐振动的能量计算题
[例3] 在光滑的水平面上停放着一辆质量为连，将弹簧压缩后用细线将的摩擦因数为
，
拴住，
的小车，质量为
的物体与一轻弹簧固定相
与
间
静止在小车上的点，如图3所示，设与
开始运动。
点为弹簧原长位置，将细线烧断后，
图3
1.
位于
点的左侧还是右侧，物体达到最大速度
时，物体
的速度最大？简要说明理由。 已经相对小车移动了距离，求此时；
的
2. 若物体速度
和这一过程中弹簧释放的弹性势能
3. 判断与
解析： 1.
的最终运动状态是静止、匀速还是相对往复运动？简要说明理由。
点的左侧。因为线烧断后，
在弹力与摩擦力
的最大速度位置应该在
的合力作用下向右做加速运动，当弹力与摩擦力的合力为零时，的速度最大，此时弹簧必处于压缩状态。此后，系统的机械能不断的减小，不能再达到这一速度。 2. 选
与
为一系统，由动量守恒定律得
，则有
，又因为
，设
，由上式解得
这一过程中弹簧释放的弹性势能为
，
3.
与
。
最终将静止。因为系统动量守恒，且总动量为零，只要
与
间有相对
运动，就要克服摩擦力做功，不断的消耗能量，所以，与最终必定都静止。
[例4] 如图4所示，是一个单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多大？共振时单摆的振幅多大？共振时摆球的最大加速度和最大速度分别为多大？（
）
图4
解析：这是一道根据共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目，本题涉及到的知识点有受迫振动、共振的概念和规律、单摆摆球做简谐运动及固有周期、频率、能量的规律等。由题意可知，当单摆振动时频率
，即
，
振幅，由，解得
很小时，，弦
近似为弧长。
。
，
如图5所示，当最大摆角（共振时）其中
为弧度。当
很小时，
图5
其最大加速度根据机械能守恒有且
（
很小），所以
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择题
1. 单摆做简谐运动时，其回复力是（ ）
A. 摆球所受的重力 B. 悬线对摆球的拉力
C. 摆球所受重力与悬线拉力的合力 D. 摆球重力在垂直悬线方向上的分力
2. 简谐振动的物体在向平衡位置运动的过程中，加速度和速度变化情况是（ ）
A. C.
增加，增加 B. 增加，减小 减小，增加 D. 减小，减小
，当振子从平衡位置开始向右运动，经过
3. 一个水平弹簧振子的振动周期是
时，振子的运动情况是（ ）
A. 正在向右做减速运动 B. 正在向右做加速运动
C. 正在向左做减速运动 D. 正在向左做加速运动 4. 如图1所示，弹簧振子的质量为A. 大小为B. 大小为C. 大小为D. 大小为
，向右 ，向左 ，向左 ，向右
，做简谐振动，当它运动到平衡位置左侧
时，它的加速度（ ）
时，受到的回复力是4N，当它运动到平衡位置右侧
图1
5. A、B两个弹簧振子，A的固有频率为的驱动力作用下做受迫振动，则（ ）
A. 振子A的振幅较大，振动频率为B. 振子B的振幅较大，振动频率为C. 振子A的振幅较大，振动频率为
，B的固有频率为
，若它们均在频率为
D. 振子B的振幅较大，振动频率为
6. 公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板，一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T，取竖直向上方向为正方向，以某一时刻作为计时起点，即
A. B. C. D.
，其振动图象如图2所示，则（ ）
时，货物对车厢地板的压力最大 时，货物对车厢地板的压力最小 时，货物对车厢地板的压力最大 时，货物对车厢地板的压力最小
图2
二. 填空题：
7. 一单摆做小角度振动，如图3为摆球的振动图象，图中把摆球经过平衡位置向右运动时记为
，取摆球向右的位移为正，则：
内通过的路程为 cm； 末的位移为 cm。
（1）摆球在（2）摆球在