?A?C?120°【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ?,
?B＝60°A＝60°?α，代入已知等式得： 由A＋C＝120°，设???C＝60°－α1cos?1cos?1＋1＝11＋＝ 1 3 ＋ ＝ 1 3 ＝ ＝－22, 322213cosAcosCcos(60???)cos(60???)cos??cos??sin?cos??sin?cos??sin?2244422解得：cosα＝2， 即：cosA?C＝2。
222【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°,B＝60°所以1设
cosA＋
21＝－＝－22，
cosBcosC11＝－2＋m，＝－2－m ， cosAcosC11所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得： ?2?m?2?mcosA＋cosC＝2cosA?CcosA?C＝cosA?C＝
22222， m2?2cosA－cosC＝－2sin即：sinA?C＝－
2A?C2mA?Csin＝－3sinA?C＝2， 2m?2222m3(m2?2)＝－
22，代入
m2?2sin2A?C＋cos2A?C＝1整理得：3m4－16m－12＝0,解出m2＝6，代
22入cos
A?C22＝2＝2m?22。
2【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“
11＋＝－22”分别进行均值换元，随后结合三角形角cosAcosC＋1＝－
cosC的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以1cosA＋cosC＝－22cosAcosC，和积互化得：
22cosA?CcosA?C＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cosA?C＝2－2cos(A-C)＝2－2(2cos
cosA2＝－2cosB2，即
22222A?C2－1)，
2整理得：42cos
2A?CA?CA?C＋2cos－32＝0,解得：cos＝
2222 y －2 2 x
例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx〃cosx－2a2的最大值和最小值。
t2?1【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx〃cosx得：sinx〃cosx＝
22112? f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0），t∈[-2,2]
2212t＝-2时，取最小值：－2a－22a－
2112当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a＋22a－ ；当0<2a≤2时，t＝2a，取最大值： 。
22?11(0?a??2? f(x)的最小值为－2a－22a－，最大值为??222)2。
12?2?2a?22a?(a?)?22?
【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx〃cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位臵关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx〒cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。 (a?1)24(a?1)2a例4.设对所于有实数x,不等式xlog2＋2x log2＋log2>0恒成立,求a的取值范围（87年全国理）
a4a2a?12(a?1)分析：不等式中log24(a?1)、log22a、log2三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换
4a2aa?12元法。 解：设log24(a?1)8(a?1)2aa?12a＝t，则log2＝log2＝3＋log2＝3－log2＝3－t，
a2aa?12aa?1a?1(a?1)2log2＝2log＝－2t， 22a4a2代入后原不等式简化为（3－t）x2＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：
?3?t?0?t?3，解得? ?2t?0或t?6??4t?8t(3?t)?0??? t<0即log20<
2a<0 a?12a<1，解得0
)2三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另式中log24(a?1)、 log22a、log2(a?12aa?14a外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
xcos2θ10sin2θcosθsinθ例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。
yy2x2x3(x2?y2)y【解】 设
sinθcosθ＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin2θ＋cos2θ＝k2(x2+y2)＝1,代入②式得：
yxx210k2x2y210k210k2y2＋＝＝ 即：2＋2＝
yy233xx23(x2?y2)xx2131设2＝t，则t＋＝10 , 解得：t＝3或 ?＝〒3或〒
yy3t33cosθ4【另解】 由x＝sinθ＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ的式子：1＋tgθ＝2xcosθy2＝10tgθ，设32(1?tg2?)?103(1?1)tg2?x31tgθ＝t，则3t—10t＋3＝0， ?t＝3或， 解得＝〒3或〒。
y3322
注：第一种解法由sinθ＝cosθ而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为x＝sinθ，
xyycosθ不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
例6. 实数x、y满足(x?1)＋(y?1)＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
229216【分析】由已知条件(x?1)＋(y?1)＝1，可以发现它与a2＋b2＝1有相似之处，于是实施三角换元。
92162?x?1?3cosθ(y?1)解：由(x?1)＋＝1，设x?1＝cosθ，y?1＝sinθ，即：? 代入不等式x＋y－k>0得：
16934?y??1?4sinθ23cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切
y 22?16(x?1)?9(y?1)?144 x 线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组?有相等的
?x?y?k?0 一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。
x＋y－k>0 Ⅲ、巩固性题组：
k 平面区域 1. 已知f(x3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。 A. 2lg2 B. 1lg2 C. 2lg2 D. 2lg4
333
2. 函数y＝(x＋1)4＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+≦) B. [-1,+≦) D. (-≦,+≦) C. (-≦,-1]
3. 设等差数列{an}的公差d＝1，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋……＋a99的值为_____。
2A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知x2＋4y2＝4x，则x＋y的范围是_________________。
5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则a?1＋b?1的范围是____________。
226. 不等式x>ax＋3的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
27. 函数y＝2x＋x?1的值域是________________。
8. 在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋a10＝2，a11＋a12＋…＋a30＝12，求a31＋a32＋…＋a60。 9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x＋y＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。
222
三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)?g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)?g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定 系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：1.利用对应系数相等列方程；2.由恒等的概念用数值代入法列方程；3.利用定义本身的属性列方程；4.利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：
1.设f(x)＝x＋m，f(x)的反函数f
2?1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. 5 , －2 B. －5 ，2 C. 5 , 2 D. －5 ，－2
22222.二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－1,1)，则a＋b的值是_____。A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
2323.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4.函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为
31，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。 225.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。 6.与双曲线x－y＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。
422【简解】1小题：由f(x)＝x＋m求出f
2?1(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；
122：由不等式解集(－,1)，可知－1、1是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；
23233小题：分析x的系数由C10与(－1)C10两项组成，相加后得x的系数，选D；
4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案2?；
355255小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0； 6小题：设双曲线方程x－y＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程x－y＝1。
43222212Ⅱ、示范性题组：
mx2?43x?n例1. 已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
x2?1【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
【解】 函数式变形为： (y－m)x－43x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0 ? △＝(－43)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，
2222
5x2?43x?1?1?(m?n)?mn?12?0x2?43x?5m?5?m?1?代入两根得：? 解得：?或? ? y＝或者y＝ 2249?7(m?n)?mn?12?0n?5x?1x?1n?1???此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y2－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：??出m、n而求得函数式y。
【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。
m?n?6?mn?12??7，解
例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，
求椭圆的方程。
【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程。
【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a
2?a2?b2?c2x?a?10? ? ?22 ? 所求椭圆方程是：＋2 解得：??a?a?(2b)10??b?5??a?c?10?5y2＝1 5也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式：
?b?c??a?c?10?5 ，更容易求出a、b的值。 ?222?a?b?c【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式。
一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。
例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式1〃2＋2〃3＋…＋n(n＋1)＝
222n(n?1)2(an＋bn＋c)对一切自然数n12都成立？并证明你的结论。 （89年全国高考题）
【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。
11【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，
62?a?b?c?24?a?3得70＝9a＋3b＋c。整理得：?4a?2b?c?44,解得?，
??b?11?9a?3b?C?70?c?10??于是对n＝1、2、3，等式1〃2＋2〃3＋…＋n(n＋1)＝对任意自然数n，该等式都成立：
222n(n?1)2(3n＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明122k(k?1)2(3k＋11k＋10)； 12k(k?1)222222当n＝k＋1时，1〃2＋2〃3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)
12假设对n＝k时等式成立，即1〃2＋2〃3＋…＋k(k＋1)＝
22＝k(k?1)(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝
212(k?1)(k?2)22（3k＋5k＋12k＋24）＝(k?1)(k?2)[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]， 1212也就是说，等式对n＝k＋1也成立。
综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。