例1. 已知数列
82n821，得，…，2222，…。Sn为其前n项和，求S1、S2、S3、S4，推测Sn公123(2n?1)2(2n?1)式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
80(2n?1)2?124488【解】 计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝ ， 猜测Sn＝ (n∈N)。
(2n?1)22549819当n＝1时，等式显然成立；
(2k?1)2?1假设当n＝k时等式成立，即：Sk＝， 2(2k?1)282(k?1)82(k?1)(2k?1)?1＋当n＝k＋1时，Sk?1＝Sk＋＝ (2k?1)22(2k?3)2(2k?1)22(2k?3)2(2k?1)2＝
(2k?1)2?(2k?3)2?(2k?3)2?82(k?1)(2k?1)2?(2k?3)2?(2k?1)2(2k?3)2?1＝＝,
(2k?3)2(2k?1)22(2k?3)2(2k?1)22(2k?3)2由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。
综上所述，等式对任何n∈N都成立。
(2k?3)2?1【注】 把要证的等式Sk?1＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)2，再考虑要约分，而将分子变形，2(2k?3)并注意约分后得到（2k＋3）2－1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明。
【另解】 用裂项相消法求和：
由an＝
1182n＝－22得， 22(2n?1)(2n?1)(2n?1)2(2n?1)111(2n?1)2?1111Sn＝（1－2）＋（2－2）＋……＋－＝1－＝。
(2n?1)2(2n?1)2(2n?1)2(2n?1)2335此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。
例2. 设an＝132＋233＋…＋n(n?1) (n∈N),证明：
1182n＝－22的裂22(2n?1)(2n?1)(2n?1)2(2n?1)112n(n＋1)
【解】 当n＝1时，an＝2，? n＝1时不等式成立。
1112n(n+1)＝， (n+1)＝2 ， 222112k(k＋1)
22假设当n＝k时不等式成立，即：
1111k(k＋1)＋(k?1)(k?2)>k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)， 2222111132(k＋1)2＋(k?1)(k?2)＝(k＋1)2＋k?3k?2<(k＋1)2＋(k＋)＝(k＋2)2， 2222211所以(k＋1)(k＋2)
2211综上所述，对所有的n∈N，不等式n(n＋1)
22【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分别将(k?1)(k?2)缩小成(k＋1)、将(k?1)(k?2)放大成(k＋
3)的两步放缩是证n＝k＋1时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不2放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。
本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对n(n?1)的分析，注意与目标比较后，进行适当
11n(n＋1)；由n(n?1)
2的放大和缩小。解法如下：由n(n?1)>n可得，an>1＋2＋3＋…＋n＝年全国文）
【分析】 要证明{an}是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：an＝a1＋(n－1)d 。命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。
【解】 设a2－a1＝d，猜测an＝a1＋(n－1)d 当n＝1时，an＝a1， ? 当n＝1时猜测正确。
当n＝2时，a1＋(2－1)d＝a1＋d＝a2， ?当n＝2时猜测正确。 假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：ak＝a1＋(k－1)d ，
(k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak)当n＝k＋1时，ak?1＝Sk?1－Sk＝－，
22将ak＝a1＋(k－1)d代入上式， 得到2ak?1＝(k＋1)(a1＋ak?1)－2ka1－k(k－1)d， 整理得(k－1)ak?1＝(k－1)a1＋k(k－1)d，
因为k≥2,所以ak?1＝a1＋kd，即n＝k＋1时猜测正确。
综上所述，对所有的自然数n，都有an＝a1＋(n－1)d，从而{an}是等差数列。
注:将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题。在证明过程中ak?1的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式Sn＝n(a1?an)、数列中通项与前n项和的关系ak?1＝Sk?1－Sk建立含ak?1的方程，代入假设
2
成立的式子ak＝a1＋(k－1)d解出来ak?1。另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)ak?1＝(k－1)a1＋k(k－1)d得到ak?1＝a1＋kd的条件是k≥2。 【另解】可证an?1 －an＝ an－ an?1对于任意n≥2都成立：当n≥2时，an＝Sn－Sn?1＝n(a1?an)－(n?1)(a1?an?1)；
22同理有an?1＝Sn?1－Sn＝(n?1)(a1?an?1)－n(a1?an)；从而an?1－an＝(n?1)(a1?an?1)－n(a1＋an)＋(n?1)(a1?an?1)，
2222整理得an?1 －an＝ an－ an?1，从而{an}是等差数列。
一般地，在数列问题中含有an与Sn时，我们可以考虑运用an＝Sn－Sn?1的关系，并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的Sn求an一类型题应用此关系最多。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 用数学归纳法证明：62n?1＋1 (n∈N)能被7整除。
2. 用数学归纳法证明： 1〓4＋2〓7＋3〓10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2 (n∈N)。 3. n∈N，试比较2n与(n＋1)2的大小，并用证明你的结论。 4. 用数学归纳法证明等式：cosx〃cosx2〃cosx3〃…〃cosxn＝
2222sinx2n2sinx2n (81年全国高考)
5. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年广东高考） 6. 数列{an}的通项公式an＝
1 (n∈N)，设f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试求f(1)、f(2)、f(3)2(n?1)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。
7. 已知数列{an}满足a1＝1，an＝an?1cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。 ①．求a2和a3； ②.猜测an，并用数学归纳法证明你的猜测。
2a(x?1) , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两8. 设f(logax)＝2x(a?1)点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)
六、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设2x＝3y＝5z>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
?x??2?2t上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。 2. （理）直线????y?3?2t （文）若k<－1，则圆锥曲线x2－ky2＝1的离心率是_________。
3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z2＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)
6. 椭圆x＋y＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是_____。A.3 B.11 C.10 D.22
16224【简解】1小题：设2x＝3y＝5z＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；
2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝〒2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝所以e＝－1k1?1k，
k2?k；
3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b2＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线； 4小题：设三条侧棱x、y、z，则
111xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。 222|4sin??4cos??2|52225小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减； 6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。
【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”,于是引入了新的参数，即设a＝1＋t1，b＝1＋t2，c＝1＋t3，代入
333的最大值，选C。
a＋b＋c可求。 【解】由a＋b＋c＝1，设a＝
2222111222＋t1，b＝＋t2，c＝＋t3，其中t1＋t2＋t3＝0，? a＋b＋c 33322222222＝（1＋t1）＋（1＋t2）＋(1＋t3)＝1＋2(t1＋t2＋t3)＋t1＋t2＋t3＝1＋t1＋t2＋t3≥
3333331 31所以a＋b＋c的最小值是。
3222【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。
本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥
1。 3两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。
x21y2例2. 椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若kOP〃kOQ＝－ ，
1644 ①．求证：|OP|2＋|OQ|2等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。 【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设??x?4cosθ?y?2sinθ（椭圆参数方程），参数θ1、θ2为P、Q两点，先计算
kOP〃kOQ得出一个结论，再计算|OP|2＋|OQ|2，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得。
?x?4cosθy2x2【解】由＋＝1，设?，P(4cosθ1,2sinθ1)，Q(4cosθ2,2sinθ2),
164y?2sinθ?则kOP〃kOQ＝
22sin?14cos?121 ?2sin?2＝－，整理得到：cosθ1 cosθ2＋sinθ1 sinθ2＝0,即cos（θ1－θ2）＝0。
44cos?2222222? |OP|＋|OQ|＝16cosθ1＋4sinθ1＋16cosθ2＋4sinθ2＝8＋12(cosθ1＋cosθ2)
＝20＋6（cos2θ1＋cos2θ2)＝20＋12cos（θ1＋θ2）cos（θ1－θ2）＝20，即|OP|＋|OQ|等于定值20。
22?x?2(cos?1?cos?2)由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为?M，
y?sin??sin?12?M所以有(
x222)＋y＝2＋2(cosθ1 cosθ2＋sinθ1 sinθ2)＝2,即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为x＋28y2＝1。
2【注】由椭圆方程，联想到a2＋b2＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ1＋ cosθ2）＋（sinθ1＋sinθ2），这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：
设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－
221，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有： 4k?x2?4y2?16?0224，消y得(1＋4k)x＝16,即|xP|＝； ?2y?kx1?4k??x2?4y2?16?0?，消?1x?y??4k?y得(1＋
1|8k|2； 2)x＝16，即|xQ|＝24k1?4k422所以|OP|＋|OQ|＝(1?k?2)＋（
21?4k211?16k2?|8k|1?4k22）＝20?80k＝20。即|OP|＋|OQ|等于定值20。 222221?4k在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝1?kAB?|xA－xB|求|OP|和|OQ|的长。