【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列13＋23＋…＋n3、12＋22＋…＋n2求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由
n(n＋1)2＝n3＋2n2＋n得Sn＝1〃22＋2〃32＋…＋n(n＋1)2＝(13＋23＋…＋n3)＋2(12＋22＋…＋n2)＋(1
n(n?1)n(n?1)n2(n?1)2n(n?1)(2n?1)＋2＋…＋n)＝＋2〓＋＝(3n2＋11n＋10)，
42612综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？
【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。
【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。 ? 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ，
显然:15－x>0，7－x>0，x>0。设V＝
?a?b?1?0要使用均值不等式，则??4(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） ab解得：a＝1， b＝3 ， x＝3 。
44?15a?ax?7b?bx?x6415x2136415?21364从而V＝(－)(－x)x≤(44)＝〓27＝576。
34443343所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm3。
【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V＝
44(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，abab求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。
Ⅲ、巩固性题组： 1.函数y＝logax的x∈[2,+≦)上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____。 A.2>a>1且a≠1 B.02或0
2222.方程x＋px＋q＝0与x＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____。A.1 B.－1 C.p＋q D.无法确定
223.如果函数y＝sin2x＋a〃cos2x的图像关于直线x＝－π对称，那么a＝_____。A.2 B.－2 C. 1 D.－1
84.满足Cn＋1〃Cn＋2〃Cn＋…＋n〃Cn<500的最大正整数是_____。A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.无穷等比数列{an}的前n项和为Sn＝a－1n , 则所有项的和等于_____。A.－1 B.1 C. 1 D.与a有关
222012n6.(1＋kx)＝b0＋b1x＋b2x＋…＋b9x，若b0＋b1＋b2＋…＋b9＝－1，则k＝______。
7.经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________。 8.正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为_______。 9.设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。 10.设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是410, 求抛物线的方程。
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四、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。
Ⅰ、再现性题组：
1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。 A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7
2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。 A. MP
224. 椭圆x＋y＝1上有一点P，它到左准线的距离为5，那么P点到右焦点的距离为_____。
2259A. 8 C. 7.5 C. 75 D. 3
45. 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－T)的值为_____。A. T B. 0 C.
2T D. 不能确定 26. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1小题：利用并集定义，选B；
2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B； 3小题：利用复数模的定义得a?2<5，选A； 4小题：利用椭圆的第二定义得到|PF左|＝e＝4，选A；
525225小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－T)＝f(T)＝－f(－T)，选B；
2226小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。 Ⅱ、示范性题组：
z2?az?b例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z＋3z－4，求w的三角形式； ② 如果2＝1－ｉ，求实数a、b的值。
z?z?1【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。
2【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3z－4＝(1＋ｉ)＋3(1?i)－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ， w的三角形式是2（cos
225?5?＋ｉsin）； 44z2?az?b(1?i)2?a(1?i)?b(a?b)?(a?2)i由z＝1＋ｉ，有2＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。 2z?z?1i(1?i)?(1?i)?1由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；
?a?2?1?a??1根据复数相等的定义，得：?，解得?。
?(a?b)??1b?2??【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等
而建立方程组，这是复数中经常遇到的。
3例2. 已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log
nf(x)的定义域，判定在(222,1)上的单调性。 2【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。
??n?4f(2)??2n?2c??14?【解】 ? 解得：? ? f(x)＝－x4＋x 解f(x)>0得：0 n??c?1?f(4)??4?4c??2523设 2 22≧ <1 ? y＝log 23f(x) 在(222,1)上是增函数。 2【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。 例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。 ① 证明：AB’∥平面DBC’； ② 假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理） 【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。 【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD ≧ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ? 四边形B’BCC’是矩形 ? O是B’C中点 △AB’C中， D是AC中点 ? AB’∥OD ? AB’∥平面DBC’ ② 作DH⊥BC于H，连接OH ? DH⊥平面BC’C ≧ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ? BC’⊥OD ? BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。 设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝ 311332sin60°＝，BH＝，EH＝ ； Rt△BOH中，OH＝BH〓EH＝， 244416? OH＝ 3＝DH ?∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。 4【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。 此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以EF＝OE＝1，EF＝1B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E〓EF＝BE即1B’E＝1， 22BFB'B233所以B’E＝3。 例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为1的椭圆的下顶点的轨迹方程。 2分析：运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2.抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到|AF|＝ 2建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。 12 【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到： 1?2242(x?1)?(m?2)?32(y?)?22?3 ，消m得：（x－1）＋＝1， ?m?y12??()2?23?y4(y?)2所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）＋3＝1。 2()232【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。 Ⅲ、巩固性题组： 1.函数y＝f(x)＝ax＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则f(x)的表达式是___。 2.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1,则∠A1FB1等于_____。 A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|x?A}，则下列关系正确的是_____。 A. A?B B. A?B C. A∈B D. A?B 4. 双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是_____。 A. y＝±3x B. y＝±1x C. y＝±3x D. y＝±3x 335.已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是_____。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数 6.C3n＋C21?n＝________。 7.Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数12的辐角主值是__________。 z38?n3n8.不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(1,2)，则不等式bx2＋cx＋a<0解集是__________。 9.已知数列{an}是等差数列，求证数列{bn}也是等差数列，其中bn＝1(a1＋a2＋…＋an)。 n10. 已知F1、F2是椭圆x2＋y2＝1 (a>b>0)的两个焦点，其中F2与抛物线y＝12x的焦点重合，M是两曲线的一个 222ab7焦点，且有cos∠M F1F2〃cos∠MF2F1＝23，求椭圆方程。 五、数学归纳法 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。 运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。 运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 Ⅰ、再现性题组： 1.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n〃1〃2…(2n－1) （n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。 A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. 2k?1 D. k?12k?3 k?11112. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n 232?1加的代数式的个数是_____。 A. 2k?1 B. 2k－1 C. 2k D. 2k＋1 3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5 时该命题不成立，那么可推得______。 (94年上海高考) A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立 C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立 4. 数列{a}中，已知a1＝1，当n≥2时an＝an?1＋2n－1，依次计算a2、a3、a4后，猜想an的表达式是_____。 A. 3n－2 B. n2 C. 3n?1 D. 4n－3 5.用数学归纳法证明34n?2＋5 2n?1n (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子34(k?1)?2＋52(k?1)?1应变形为________。 6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。 【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端的代数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为 2小题：（2 k?1k(2k?1)(2k?2)，选B； k?1k－1）－（2－1）＝2，选C； 3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C。 4小题：计算出a1＝1、a2＝4、a3＝9、a4＝16再猜想an，选B； 5小题：答案（3 4k?2＋5 2k?1）3＋5 k2k?1（5－3）； 246小题：答案k－1。 Ⅱ、示范性题组：