18.（本小题满分13分）
ex?1（Ⅰ）解：函数f(x)?的定义域为{x|x?R，且x??1}. ?????? 1
4x?4分
ex?1(4x?4)?4ex?14xex?1f?(x)??. ?????? 32(4x?4)(4x?4)2分
令f?(x)?0，得x?0，
当x变化时，f(x)和f?(x)的变化情况如下：
x f?(x) (??,?1) (?1,0) 0 (0,??) ? ↘ ? ↘ 0 ? ↗ ?????? 5
f(x) 分
故f(x)的单调减区间为(??,?1)，(?1,0)；单调增区间为(0,??)． 所以当x?0时，函数f(x)有极小值f(0)?分
（Ⅱ）解：因为 a?1，
所以 ax?4x?4?(x?2)?(a?1)x?0，
所以函数f(x)的定义域为R， ?????? 7分
x?1?1ex?1(ax2?4x?4)?e(2ax?4)xexax(??4a2)? 求导，得f?(x)?，?? 8
(ax2?4x?4)2(ax2?4x?4)2222e. ?????? 64分
令f?(x)?0，得x1?0，x2?2? 当 1?a?2时，x2?x1，
4， ?????? 9分 a 11
当x变化时，f(x)和f?(x)的变化情况如下：
x f?(x) 4(??,2?) a2?4 a4(2?,0) a0 (0,??) ? ↗ 0 ? ↘ 0 ? ↗ f(x) 故函数f(x)的单调减区间为(2?44,0)，单调增区间为(??,2?)，(0,??)． aa?????? 11
分
当 a?2时，x2?x1?0，
2ex?1x2≥0， 因为f?(x)?（当且仅当x?0时，f?(x)?0） 22(2x?4x?4)所以函数f(x)在R单调递增. ?????? 12分
当 a?2时，x2?x1，
当x变化时，f(x)和f?(x)的变化情况如下：
x f?(x) (??,0) 0 4(0,2?) a2?4 a4(2?,??) a? ↗ 0 ? ↘ 0 ? ↗ f(x) 故函数f(x)的单调减区间为(0,2?)，单调增区间为(??,0)，(2? 综上，当 1?a?2时，f(x)的单调减区间为(2?4a4,??)． a44,0)，单调增区间为(??,2?)，aa(0,??)；当 a?2时，函数f(x)在R单调递增；当 a?2时，函数f(x)的单调减区间
为(0,2?)；单调增区间为(??,0)，(2?分
19．（本小题满分14分）
4a4,??)． ?????? 13a 12
（Ⅰ）解：椭圆W的右焦点为M(1,0)， ?????? 1分
因为线段MB的中点在y轴上，
所以点B的横坐标为?1， 因为点B在椭圆W上，
将x??1代入椭圆W的方程，得点B的坐标为(?1,?). ?????? 3分
所以直线AB（即MB）的方程为3x?4y?3?0或3x?4y?3?0.????? 5分
（Ⅱ）证明：设点B关于x轴的对称点为B1（在椭圆W上），
要证点B与点C关于x轴对称， 只要证点B1与点C重合，.
又因为直线AN与椭圆W的交点为C（与点A不重合），
所以只要证明点A，N，B1三点共线. ?????? 7分
以下给出证明：
由题意，设直线AB的方程为y?kx?m(k?0),A(x1,y1),B(x2,y2)，则. B1(x2,?y2)32?3x2?4y2?12,由 ?
?y?kx?m,得 (3?4k)x?8kmx?4m?12?0， ?????? 9分
所以 ??(8km)?4(3?4k)(4m?12)?0，
2222228km4m2?12 x1?x2??，x1x2?. ?????? 10223?4k3?4k分
在y?kx?m中，令y?0，得点M的坐标为(?m,0)， k 13
由OM?ON?4，得点N的坐标为(?分
4k,0)， ?????? 11m设直线NA，NB1的斜率分别为kNA，kNB1，
y1?y2??4k4kx1?x2?mm4k4k??xy1?y?因为 x2y1?y1 22mm4k4k?x1(kx2?m)?(kx2?m)? ?x2(kx1?m)?(kx1?m)? mm则 kNA?kNB1?
x2y1?y1?4k4k?x1y2?y2?mm ，???12分 4k4k(x1?)(x2?)mm4k2)(1x?x ?2kx k1x2?(m?2)?8m4m2?124k28km)?(m?)(?)?8k ?2k?(3?4k2m3?4k28m2k?24k?8m2k?32k3?24k?32k3? 23?4k?0， ?????? 13
分
所以 kNA?kNB1?0， 所以点A，N，B1三点共线，
即点B与点C关于x轴对称. ?????? 14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：b1?1，b2?1，b3?2. ?????? 3分
（Ⅱ）解：由题意，得1?a1?a2?a3??an?，
结合条件an?N*，得an≥n. ?????? 4分
又因为使得an≤m成立的n的最大值为bm，使得an≤m?1成立的n的最大值为
14
bm?1，
所以b1?1，bm≤bm?1(m?N*). ?????? 5分
设a2?k ，则 k≥2. 假设k?2，即a2?k >2，
则当n≥2时，an?2；当n≥3时，an≥k?1. 所以b2?1，bk?2. 因为{bn}为等差数列， 所以公差d?b2?b1?0， 所以b*n?1，其中n?N. 这与bk?2(k?2)矛盾，
所以a2?2. 分
又因为a1?a2?a3??an?，
所以b2?2，
由{b*n}为等差数列，得bn?n，其中n?N. 分
因为使得an≤m成立的n的最大值为bm， 所以an≤n，
由an≥n，得an?n. 分
（Ⅲ）解：设a2?k (k?1)，
因为a1?a2?a3??an?，
所以b1?b2??bk?1?1，且bk?2，
15
?????? 6?????? 7?????? 8 所以数列{bn}中等于1的项有k?1个，即a2?a1个； ?????? 9分
设a3?l (l?k)， 则bk?bk?1??bl?1?2， 且bl?3，
所以数列{bn}中等于2的项有l?k个，即a3?a2个； ?????? 10分
??
以此类推，数列{bn}中等于p?1的项有ap?ap?1个. ?????? 11分
所以b1?b2??bq?(a2?a1)?2(a3?a2)??(p?1)(ap?ap?1)?p
??a1?a2?
?ap?1?(p?1)ap?p
?ap?1?ap)
?pap?p?(a1?a2??p(q?1)?A.
即
b1?b2?
?bq?p(q?1)?A. ???????? 13分
16