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第24题图
25．(7分)设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF
相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．
(1)证明：PC＝2AQ．
(2)当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明．
第25题图
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答 案
20．2008年北京市西城区中考数学二模试卷
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．D 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题
9．x≥－2且x≠0 10．＜ 11．m＋2 12．三、解答题
13．解：x(x＋y)－(x－y)(x＋y)－y2＝x2＋xy－(x2－y2)－y2
＝x＋xy－x＋y－y＝xy． 当x＝0.25
x32008
2
2
2
2
32
，y＝4
2008
时，原式＝1．
14．解：由3x－5＞x－3解得x＞1．
由
?x?25解得x≤3．
所以，原不等式组的解集是1＜x≤3． 15．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠DBA＝30°．∴AD＝DB＝20．
∵∠BDC＝∠BAD＋∠DBA＝60°，
?sin?BDC?BCBD?32，∴BC＝103．
16．证明：连结OH．∵四边形OABC和四边形ODEF都是正方形，
?OF?OA,?????F??A?90,∴△OFH≌△OAH． ?OH?OH.?∴FH＝AH．
∵BA＝FE，∴BH＝HE．
第16题答图
17.解：设该市去年居民用水的价格为x元／立方米，则今年用水价格为(1＋25％)x元／立
方米 根据题意得
48(1?25%)x?24x?6．
解得x＝2.4
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经检验，x＝2.4是原方程的根．
所以(1＋25％)x＝3．
故该市今年居民用水的价格是3元／立方米． 18.(1)证明：AF⊥BE理由如下：连结BF
∵△AEF是由△ABC沿CA的方向平移CA长度得到，
∴ BF＝AC,AB＝EF,CA＝AE． ∵AB＝AC,
∴AB＝BF＝EF＝AE． ∴四边形ABFE是菱形． ∴AF⊥BE．
第18题答图
(2)解：作BM⊥AC于点M．∵AB＝AC＝AE，∠BEC＝15°，∴∠BAC＝30°．
?BM?12AB?1212AC．
?S?ABC?4，??AC?12AC?4，?AC?4．
19．(1)证明：∵A是的中点，∴＝
第19题答图
∴∠ABC＝∠ADB．∵∠BAE＝∠DAB, ∴△ABE∽△ADB．
(2)解：由(1)得△ABE∽△ADB．
?ABAD?AEAB．
有AB2＝AD2AE＝12，∴AB＝23． ∵BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，
?tan?ADB?ABAD?236?33．
(3)解：连结OA，CD，∴AO⊥BC，CD⊥BC． 由(2)知tan?ADB?33．
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∴∠ADB＝30°，∴∠AOB＝60°，∠DBC＝30°．
?BD?AB2?AD2?43，?CD?23．
∵S△BDF＝83，
∴BF＝8．
∵Rt△ABE中，BE＝4，．∴EF＝4．∵在Rt△EDC中，ED＝4， ∴EF＝ED．∵∠AEB＝∠DEF＝60°，∴∠EDF＝60°．
22
20．解：(1)由于关于x的一元二次方程x＋2ax＋b＝0有实数根，
所以(2a)2－4b2≥0，有a2≥b2． 由于a≥0，b≥0，所以a≥b． (2)列表： a b 0 1 2 0 (0，0) (1，0) (2，0) 1 (0，1) (1，1) (2，1) 2 (0，2) (1，2) (2，2) 343 (0，3) (1，3) (2，3) ．
共有12种情况，其中a≥b的有9种，则上述方程有实数根的概率是21．(1)6 30 (2)n＋1 n(n＋1)
22．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝－x1＋4，y2＝－x2＋4．
(1)S1?S2?1212OA1?A1A?1212x1(?x1?4)??1212x1?2x1．
22OB1?B1B?x2(?x2?4)??x2?2x2．
(2)S1＞S2．
理由如下：S1?S2????1212(x1?x2)?2(x1?x2)
22(x1?x2)(x1?x2?4)．
由题意知x1＜x2，且x1＋x2＞4．所以，x1－x2＜0，x1＋x2－4＞0． 可得S1－S2＞0，即S1＞S2． 23．解：(1)作DF⊥BC，F为垂足．
第23题答图
当PC＝6时，
由已知可得四边形ABFD是矩形，FC＝6， ∴点P与点F重合．又∵BF⊥FD， ∴此时点E与点B重合．
(2)当点P在BF上(即6＜x≤24)时，
∵∠EPB＋∠DPF＝90°，∠EPB＋∠PEB＝90°，
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∴∠DPF＝∠PEB∵∠B＝∠PFD＝90°， ∴tan∠EPB＝tan∠PDF，即
EBBPDFyx?61，?y??(x2?30x?144)． ??24?xmm1m(x?30x?144)．
2?PF，
当点P在CF上(即0＜x≤6)时，同理可得y??12?(x?30x?144)(6?x?24),??m综合以上知：y??
?1(x2?30x?144)(0?x?6)???m(3)能找到这样的两点．
解法一：当点E与点A重合时，y＝EB＝m，此时点P在线段BF上， 有m??1m(x?30x?144)，整理得，x－30x＋144＋m＝0①．
222
假设在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，即方程①有两个不相等的正根，首先要Δ＝(－30)2－43(144＋m2)＞0，然后应有x＝15±81?m＞0．
2由Δ＞0解得81＞m，由于81?m＜15，m＞0，∴0＜m＜9．
解法二：能找到这样的两点． 当点E与点A重合时， ∵∠APD＝90°，
∴点P在以AD为直径的圆上．设圆心为Q，则Q为AD的中点．要使在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，只要使线段BC与⊙Q相交，即：圆心Q到BC的距离d满足0?d?AD222．
∵AD∥BC，∴d＝m．
?0?m?182?9．
24．解：(1)由于抛物线y＝ax2＋23x＋c经过点A和点O，所以有??a??c?0.3x?23x．
2?0?4a?43?c,?0?c.
解出?3,
故抛物线的解析式是y?2(2)由抛物线y＝3x＋23x知其顶点D的坐标是(－1，－3)． 设点M的坐标是(x0，y0)，且y0＞0．