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高考数学解答题专题攻略----三角函数
一、08高考真题精典回顾： 1.（全国一17）．（本小题满分10分）
设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB?bcosA?（Ⅰ）求tanAcotB的值； （Ⅱ）求tan(A?B)的最大值．
解析：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及acosB?bcosA?可得sinAcosB?sinBcosA?3c． 53c 53333sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB 5555即sinAcosB?4cosAsinB，则tanAcotB?4； （Ⅱ）由tanAcotB?4得tanA?4tanB?0
tanA?tanB3tanB33tan(A?B)???≤ 21?tanAtanB1?4tanBcotB?4tanB41当且仅当4tanB?cotB,tanB?,tanA?2时，等号成立，
213故当tanA?2,tanB?时，tan(A?B)的最大值为.
242.（全国二17）．（本小题满分10分） 在△ABC中，cosB??（Ⅰ）求sinA的值；
54，cosC?． 13533，求BC的长 2512解：（Ⅰ）由cosB??，得sinB?，
131343由cosC?，得sinC?．
55（Ⅱ）设△ABC的面积S△ABC?所以sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?（Ⅱ）由S△ABC?33． ··········· 5分 6533133得?AB?AC?sinA?， 22233由（Ⅰ）知sinA?，
65故AB?AC?65， ···························· 8分
AB?sinB20?AB， 又AC?sinC132013AB2?65，AB?． 故132AB?sinA11?． ························ 所以BC?10分
sinC2京翰教育中心http://www.zgjhjy.com
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3.（北京卷15）．（本小题共13分）
已知函数f(x)?sin2?x?3sin?xsin??x?（Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围．
3??π??（??0）的最小正周期为π． 2??2π???解：（Ⅰ）f(x)?1?cos2?x3311?sin2?x?sin2?x?cos2?x?
22222π?1??sin?2?x???．
6?2?因为函数f(x)的最小正周期为π，且??0， 所以
2π?π，解得??1． 2?（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?sin?2x???π?1??． 6?22π， 3ππ7π所以?≤2x?≤，
666因为0≤x≤所以?1π?≤sin?2x???≤1， 26????π?13?3?f(x)，即的取值范围为?≤0，?． ??6?22?2?因此0≤sin?2x?4.（安徽卷17）．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?cos(2x??)?2sin(x?)sin(x?)
344??（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数f(x)在区间[?解：（1）?f(x)?cos(2x?,]上的值域 122)?2sin(x?)sin(x?) 344?????13?cos2x?sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx)22京翰教育中心http://www.zgjhjy.com
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13?cos2x?sin2x?sin2x?cos2x 2213?cos2x?sin2x?cos2x 22?2??sin(2x?)∴周期T???
62??k???(k?Z) 由2x??k??(k?Z),得x?6223∴函数图象的对称轴方程为 x?k???3????5?] （2）?x?[?,],?2x??[?,122636因为f(x)?sin(2x?所以 当x?(k?Z)
?6)在区间[?,]上单调递增，在区间[,]上单调递减，
12332?????3时，f(x)取最大值 1
又 ?f(??12)???3?13 ?f()?，当x??时，f(x)取最小值?1222223,]上的值域为[?,1] 1222所以 函数 f(x)在区间[???5.（山东卷17）（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝3sin(?x??)?cos(?x??)(0???π,??0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（Ⅰ）求f（
π. 2π）的值； 8π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到6（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移
原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f(x)＝3sin(?x??)?cos(?x??) ＝2??3?1sin(?x??)?cos(?x??)?
2?2?π) 6＝2sin(?x??-
因为 f(x)为偶函数，
所以 对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，
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ππ）＝sin(?x??-). 66ππππ即-sin?xcos(?-)+cos?xsin(?-)=sin?xcos(?-)+cos?xsin(?-),
6666ππ整理得 sin?xcos(?-)=0.因为 ?＞0，且x∈R,所以 cos（?-）＝0.
66πππ又因为 0＜?＜π，故 ?-＝.所以 f(x)＝2sin(?x+)=2cos?x.
622因此 sin（-?x??-
2?由题意得 ??2??2, 所以 ? ＝2.
故 f(x)=2cos2x. 因为 f()?2cos??48?2.
??个单位后，得到f(x?)的图象，再将所得图象横坐标
66??伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f(?)的图象.
46（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个
????????所以 g(x)?f(?)?2cos?2(?)??2cosf(?). 4623 ?46??2 当2kπ≤
32?8? 即4kπ＋≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)时，g(x)单调递减.
33 因此g(x)的单调递减区间为 ?4k??,4k??? (k∈Z)
33??二、09高考三角函数分析与预测：
三角函数解答题是高考中必考题，在高考试题中，三角题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而三角题是高考中的得分点．三角函数的考查有以下一些类型与特点：
1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是y?Asin(?x??)的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.高考试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材，且高于教材。
2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.
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??≤2 kπ+ π (k∈Z),
?2?8??高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com
3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题. 常用解题思想方法：
1．三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是 “1”的代换，如1=cosθ+sinθ=tanx·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sinx+2cosx=(sinx+cosx)+cosx=1+cosx；配凑角α=（α+β）－β，β=???－???等。
22（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=a?bsin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定，?角的值由tan?=
222
2
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b确定。 a2．证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3．证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4．解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 复习指导，备考指南：
要想做好三角函数解答题，考生必须要熟练记忆诱导公式，两角和、差的三角函数公式及二倍角公式。另外对与特殊角的三角函数值应非常熟悉。掌握一些技巧，培养自己的观察能力，寻找角与角之间联系的能力都将有助于高考三角函数题的解答。 三、高考热点新题： 1.已知cos??113?,cos(???)?,且0