【解】?i?2?Xi?152i~?(5),?2??Xi2~X2(n?5)
22i?1n2且?12与?2相互独立.
所以
X12/5Y?2~F(5,n?5)
X2/n?57.求总体X~N（20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于
0.3的概率. 【解】令X的容量为10的样本均值，Y为容量为15的样本均值,则X~N(20,310),
Y~N(20,
3)，且X与Y相互独立. 15则X?Y~N?0,?33????N(0,0.5), ?1015?那么Z?所以
X?Y~N(0,1), 0.50.3??P(|X?Y|?0.3)?P?|Z|???2[1??(0.424)]
0.5?? ?2(1?0.6628)?0.6744.
X1?X2???X108.设总体X~N（0，σ2）,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y= 2222X11?X12???X15222??服从 分布,参数为 . 【解】
Xi?~N(0,1),i=1,2,…,15.
102215?Xi??Xi?2222那么?1???~?(10),??2????~?(5)
i?1???i?11???且?1与?2相互独立, 所以
2X12???X10X12/10Y??2~F(10,5) 222(X11???X15)X2/522所以Y~F分布，参数为（10,5）.
9.设总体X~N（μ1,σ2）,总体Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,Xn1和Y1，Y2，…，Xn2分别来自总体X和
Y的简单随机样本，则
n2?n122?(X?X)?(Y?Y)?j??i?i?1j?1?= . E???n1?n2?2????1n11n222【解】令 S?(Yi?Y), ?(Xi?X),S2?n?1?n1?1i?1j?1221则
?(Xi?1n1i2?X)?(n1?1)S,?(yj?y)2?(n2?1)S2,
221j?1n2又??那么
21(n1?1)S12?2~?(n1?1),??2222(n2?1)S2?2~?2(n2?1),
n2?n122?(X?X)?(Y?Y)?j??i?1i?1j?12??E??E(?2?12??2?2)
??n1?n2?2n1?n2?2?????
?2n1?n2?22[E(?12)?E(?2)]?2
?2
n1?n2?2[(n1?1)?(n2?1)]??212n10.设总体X~N（μ,σ），X1，X2，…，X2n（n≥2）是总体X的一个样本，X?Xi，?2ni?1令Y=
?(Xi?1ni?Xn?i?2X)2，求EY.
【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,n.则
Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn相互独立.
nZi22令 Z??, S??(Zi?Z)/n?1,
i?1ni?1nXi1n1则 X???Z?Z, ?i2n2n2i?1i?1故 Z?2X 那么
2nY??(Xi?Xn?i?2X)??(Zi?Z)2?(n?1)S2,
2i?1i?1nn所以
E(Y)?(n?1)ES2?2(n?1)?2.
11. 设总体X的概率密度为f(x)=e本，其样本方差为S2，求E(S2). 解： 由题意，得
12?x (-∞ ?1xe, x?0,??2f(x)?? 1?e?x,x?0,??2E(S2)?D(X)?E(X2)?E2(X)??1???x于是 E(X)??xf(x)dx??xedx?0 ??2??????1??2?x22E(X)??xf(x)dx??xedx??x2e?xdx?2,??02??所以 E(S2)?2. 第7章 参数估计 7． （1998年、数学一、计算） 设容量为n的简单随机样本取自总体N ( 3.4, 36 ),且样本均值在区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？ 1n62解：设X1,X2,?Xn是取自总体的简单随机样本，则： X??Xi~N(3.4,) ni?1n又由于： ?n??nX?3.4?P{1.4?X?5.4}?P?????336n???? ?n??2???3???1?0.95??则：???n???0.975，查表得n?1.96,?n?(1.96?3)2?34.6 ?3?3??即知样本容量n至少应取35. 8． （1993年、数学三、填空） 设总体X的方差为1，据来自X的容量为100的简单随机样本，测得均值为5，则X的期望的置信度近似等于0.95的置信区间为（ ）。 [答案：填(4.8,5.2)] 110011100据题意可知，X~N(?,1)，X?xi?5， ?Xi~N(?,100)且x?100?100i?1i?1由1???0.95，即??0.05，查表得?0.05?1.96，可知 ?x???11???1.96??P?x??1.96???x??1.96? P?10?10??110? ?P?4.8???5.2??0.95 因而总体X的期望的置信度近似等于0.95的置信区间为(4.8,5.2)。 9． （1996年、数学三、填空） 由来自正态总体X~N(?,0.92)，容量为9的简单随机样本，若得到样本均值X?5，则未知参数?的置信度为0.95的置信区间为（ ）。 [答案：填(4.412,5.588)] 据题意可知 ??0.9?5???P???0.05??1?0.05?0.95，又u0.05?0.3?1.96?0.588 9???0.99?由10． 5??0.99??0.05，得5?0.588???5?0.588，即??(4.412,5.588)。 （2000年、数学三、计算） 假设0.50,1.25,0.80,2.00是总体X的简单随机样本值，已知Y?lnX服从正态分布 N(?,1)。 （1）求X的数学期望EX（记EX为b）； （2）求?的置信度为0.95的置信区间； （3）利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。 解：（1）Y的概率密度为： f(y)?e2?1?(y??)22（令t?y??） ,???y???，于是， b?EX?EeY?12?12???12???????eet??y?(y??)22dy ? ?????ee1?t22dt ?e???e2??1(t?1)22dt?e??12（2）当置信度1???0.95时，??0.05。标准正态分布的水平为??0.05的分位数为?0.05?1.96。故由Y~N(?,14)，可得 ?Y???11???1.96??P?Y??1.96???Y??1.96??0.95 P?22???12?其中 Y?于是，有 P??0.98???0.98??0.95 从而(?0.98,0.98)就是?的置信度为0.95的置信区间。 （3）由函数e的严格递增性，可见 x11(ln0.5?ln0.8?ln0.125?ln2)?ln1?0 441?0.48??11.48?? 0.95?P??0.48????1.48??Pe?e2?e 2??因此b的置信度为0.95的置信区间为(e11． （1997年、数学一、计算） 设总体X的概率密度为 ?0.48??,e1.48)。 ?(??1)x? f(x)???00?x?1其他 其中未知参数???1，X1,X2,?Xn是取自总体的简单随机样本，用矩法估计和极大似然估计法求?的估计量。 解： E(X)??10x(??1)x?dx???1 ??2令X???1??2X?1，此即?的矩估计量。 ，解得：???21?X