百分数，样本中有543人拥有私人汽车，（1）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE；（2）求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。 21. 解 故
，
，
所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为
。
3.
设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.
【解】E(X)?np,E(X)?A1?X,因此np=X
??所以p的矩估计量 p2.设总体X的密度函数
X n?2?(??x),0?x??,f（x,θ）=??2
?其他.?0,X1，X2，…，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】E(X)?2?2??02?x2x3???x(??x)dx?2????0?,
??23?3令E(X)=A1=X,因此
?=X 3^所以θ的矩估计量为 ??3X.
3.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的极大似然估计.
??e??x,x?0,（1） f（x，θ）=?
x?0.?0,??x??1,0?x?1,（2） f（x，θ）=?
其他.?0,【解】（1） 似然函数L??f(x,?)???enii?1i?1nn??xi??eenn?????xii?1n
g?lnL?nln????xi
i?1dgdlnLnn由????xi?0知 d?d??i?1???n
i?xi?1n??所以θ的极大似然估计量为?(2) 似然函数L???n1. X?x?ii?1n?1,0?xi?1,i=1,2,…,n.
nlnL?nln??(??1)ln?xi
i?1ndlnLn由??ln?xi?0知
d??i?1????nln?xii?1n??n?lnxi?1n
i???所以θ的极大似然估计量为 ?n?lnxi?1n
i3. 序号 收益率 从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.01 -0.11 -0.12 -0.09 -0.13 -0.3 0.1 -0.09 -0.1 -0.11 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 3n?9 【解】 x??0.09 4 s?0.1018 9
??x??0.094. EXxi2?)]2?A,即有 ?2?[E(X 由E(X)?D(X)?[E(X)],E(X)?A2??知?2ni?1222n101?)]???A2?[E(X?[?Xi2?10(X)2] 10i?12??于是 ?9s?0.9?0.10189?0.0966 10所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.
3.
随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：
0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.
【解】(1) E(X)??2,令E(X)?X，则
??2X且E(??)?2E(X)?2E(X)??, ???2x?2?0.6?1.2且???2X是一个无偏估计. 所以θ的矩估计值为??1?(2) 似然函数L??f(xi,?)???,i=1,2,…,8.
???i?1显然L=L(θ)↓(θ>0)（为递减函数），那么??max{xi}时，L=L(θ)最大,
1?i?888所以θ的极大似然估计值??=0.9.
因为E(??)=E(max{xi})≠θ,所以??=max{xi}不是θ的无偏计.
1?i?81?i?8? =k6.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，E（X）=μ，D（X）=σ，?2
2?(Xi?1n?1i?1?Xi)2,
?为σ2的无偏估计. 问k为何值时?【解】令 Yi?Xi?1?Xi,i=1,2,…,n-1,
则 E(Yi)?E(Xi?1)?E(Xi)?????0,D(Yi)?2?2,
2
??E[k(于是 E?222222Y)]?k(n?1)EY?2?(n?1)k, ?i1i?1n?1?)??,即2?(n?1)k??时, 那么当E(?有 k?221.
2(n?1)7.设X1，X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本
?1??211311?2?X1?X2;??3?X1?X2; X1?X2;?334422?1,??2,??3都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 试证??1)?E?【证明】（1）E(??2)?E(?1?2121?2X1?X2??E(X1)?E(X2)??????,
3?3333?313E(X1)?E(X2)??, 44?3)?E(?11E(X1)?E(X2)??, 22?1,??2,??3均是μ的无偏估计量. 所以?45?2?2??1?2?1)???D(X1)???D(X2)?X??(2) D(?,
99?3??3?5?2?1??3??2)???D(X1)???D(X2)? D(?,
8?4??4?2222??1??3)????D(X1)?D(X2)?? D(?,
2?2?8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，
测得其长度（单位mm）如下：
14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,
22x?14.95,ua?u0.25?1.96,,
2μ的置信度为0.95的置信区间为
???x?u?/2???(14.95?0.1?1.96)?(14.754,15.146).
n??9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，
且置信区间的长度不大于L？
【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为?x?u?/2?????, n?于是置信区间长度为2??u?/2, n4?2(u?/2)22??u?/2≤L,得n≥那么由 2Ln10.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）：
64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 【解】x?76.6,s?18.14,??1?0.95?0.05,n?20,
t?/2(n?1)?t0.02(519?)2.093,2??/2(n?1)??220.025(19?)32.8?520,.975?(19)
8.907(1) μ的置信度为0.95的置信区间
s18.14????x?t(n?1)?76.6??2.093a/2?????(68.11,85.089)
n20????(2)?的置信度为0.95的置信区间
2
?(n?1)s2(n?1)s2??191922?,??18.14,?18.14?2????(190.33,702.01) 2?(n?1)?(n?1)32.8528.907?1??/2??/2??3.
?(??1)x?,0?x?1;设总体X~f(x)=?其中???1
其他.?0,X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.
【解】(1)
E(X)??又
????xf(x)dx??(??1)x??1dx?01??1, ??2X?E(X)?故
??1, ??2???2X?1
1?X??2X?1. 所以θ的矩估计量 ?1?X(2) 似然函数
n?n?n?(??1)?xi 0?xi?1(i?1,2,?,n). L?L(?)??f(xi)??i?1i?1?0其他?取对数
lnL?nln(??1)???lnxii?1n(0?xi?1;1?i?n),
dlnLn???lnxi?0,d???1i?1???1?所以θ的极大似然估计量为?nnn.
i?lnXi?1?6x?(??x),0?x??;12.设总体X~f(x)= ??3
?其他.?0,